6.4.3.1余弦定理讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

余弦定理 知识回顾 1．余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 2．余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 典型例题 例1：在中若，，求： （1）的长； （2）内角的大小．你能对这个问题进行推广吗？ 例2：（1）在中，已知，求内角的大小； （2）在中，已知，求的值． 例3：设的内角的对边长分别为，且． （1）求的值； （2）求的值． 例4：在中，内角的对边长分别为，且满足 （1）求内角的大小； （2）若为边的中点，且，求面积的最大值，并判断此时的形状． 巩固训练 一、单选题 1．在中，若且，则等于（ ） A． B． C． D． 2．在中，若，，且，则等于（ ） A． B．4 C． D． 3．边长分别为5，7，8的三角形的最大角与最小角之和为（ ）． A． B． C． D． 4．在中，若，则角等于（ ）． A． B． C． D． 5．设的内角的对边长分别为，若，则（ ）． A．3 B．4 C． D． 二、多选题 6.在中，则下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．在中，，则________，_________，_________． 8．在中，已知，则最大角的余弦值是_________． 9．在中，是方程的一个根，则周长的最小值是_________． 三、解答题 10．在中，内角的对边长分别为，． （1）求； （2）若，且，求． 11．如图，半圆的直径，为半圆上任意一点，以为一边作正，则当点在什么位置时，四边形的面积最大？最大面积是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 余弦定理 例1：在中若，，求： （1）的长； （2）内角的大小．你能对这个问题进行推广吗？ 【解析】：（1）因为，等号两边平方得，所以． （2）因为，所以， 例2：（1）在中，已知，求内角的大小； （2）在中，已知，求的值． 【解析】：（1）由已知，，，，因为，所以． （2）（*） 因为，所以，即 例3：设的内角的对边长分别为，且． （1）求的值； （2）求的值． 【解析】：（1）由余弦定理得，又，故． （2）原式 例4：在中，内角的对边长分别为，且满足 （1）求内角的大小； （2）若为边的中点，且，求面积的最大值，并判断此时的形状． 解：（1）由 得 解得，由，知 （2）在中，， 即 所以，当且仅当时取等号 此时由知其最大值为 由余弦定理知，所以 所以是以角为直角的直角三角形． 评注：事实上，点的轨迹是以为弦、圆周角为的圆弧，当点位于圆弧最高点时，的面积最大．，，于是面积的最大值为． 巩固训练 一、单选题 1．在中，若且，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】提示：． 2．在中，若，，且，则等于（ ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【解析】提示：，，，所以， 所以，即． 3．边长分别为5，7，8的三角形的最大角与最小角之和为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】提示：不妨设，，则所以，． 4．在中，若，则角等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】提示：由已知，，所以，即 5．设的内角的对边长分别为，若，则（ ）． A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】提示：因为，，所以． 二、多选题 6.在中，则下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】根据余弦定理， 可得， 即， 所以B正确，A错误； 根据余弦定理可得： ， 所以C正确； 根据两角和与差的正弦公式可得： ， 所以D正确； 故选：BCD. 三、填空题 7．在中，，则________，_________，_________． 【答案】；； 【解析】提示：由，得，由，得，从而． 8．在中，已知，则最大角的余弦值是_________． 【答案】 【解析】提示：由，得，所以最大角的余弦值． 9．在中，是方程的一个根，则周长的最小值是_________． 【答案】 【解析】提示：易得，由余弦定理得，， 即．当时，最小，此时，所以周长的取小值为． 三、解答题 10．在中，内角的对边长分别为，． （1）求； （2）若，且，求． 【解析】：（1）因为，所以．又，解得．因为，所以角是锐角，所以． （2）因为，所以，所以 又因为，所以，即．所以，即． 11．如图，半圆的直径，为半圆上任意一点，以为一边作正，则当点在什么位置时，四边形的面积最大？最大面积是多少？ 【解析】：设，在中，由余弦定理得，于是四边形的面积， 当时，四边形的面积的最大值． 2 / 2 学科网（北