2024年中考数学二轮专题复习 圆1：用勾股定理求圆中的线段长度

圆与勾股定理 本节重点、难点 本节重点：圆的切线证明（等腰平行线、垂直平行线、余角之间的互相转化--弦切角定理） 本节难点： 勾股定理+特殊三角形的性质，求圆中某一线段长度问题 教学目标： 1、掌握切线基本定义，根据定义掌握两大类切线证明的方法及核心思路 2、结合图形题干，利用角度之间的等量转化及勾股定理进行求线段长度 知识点：圆与勾股定理结合--一次勾股求解 【知识梳理】 该类题型中常用的方法：连半径，证垂直。证明垂直的大致方向：等腰三角形+角平分线或平行线；垂直+平行线；角度之间的互相转化（弦切角定理）； 【例题精讲】 类型一：设半径x，用x+线段表示斜边；利用勾股定理列等式方程 1-1．（2023秋•官渡区校级期中）如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且点E是的中点． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若AD＝3，AE＝3，求BC的长． 1-2．（2021秋•梁园区校级期中）如图，A、B是⊙O上的两点，过O作OB的垂线交AB于C，交⊙O于E，交⊙O的切线AD于D． （1）求证：DA＝DC； （2）当OA＝5，OC＝1时，求DA及DE的长． 1-4．（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长． 2-1．（2022秋•椒江区期末）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD和过点C的直线互相垂直，垂足为点D，且AC平分∠DAB． （1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）连接BC，当∠DAB＝60°，AC＝2时，求⊙O的半径． 2-2．（2022秋•汝南县期中）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F． （1）求证：CA＝CD； （2）若AB＝12，求线段BF的长． 类型二：设半径x，用线段-x表示直角边；利用勾股定理列等式方程 3-1．（2022秋•柘城县期中）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BF＝4，DF＝，求⊙O的半径． 3-2．（2023•黑龙江模拟）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BD＝3，求AE的长． 【随堂精练】 1．勾股直接算（2022秋•魏都区校级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点．以BD为直径作⊙O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若PC是⊙O的切线，BC＝4，求PC的长． 2．（2022秋•太康县期末）如图，D为⊙O上一点，点C是直径BA延长线上的一点，连接CD，且∠CDA＝∠CBD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若DC＝4，AC＝2，求OC的长． 3．（2022秋•光山县期末）如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G． （1）证明：GF是⊙O的切线； （2）若AG＝6，GE＝6，求△GOE的面积． 4．（2021秋•渑池县期末）如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD的延长线于点C，AB＝AC，作OE⊥AB于E，连接AO、AD． （1）求证：△ACO≌△ABD； （2）若OE＝1，求CD的长． 【方法总结】 连半径，证垂直；求长度，找直角，设未知数，用勾股，列等式，求方程；无垂直，构直角，用勾股，求长度 知识点：圆与勾股定理：两次勾股定理 【知识梳理】 在此类型习题中，两次勾股定理的使用是关键，要细心找直角三角形，看两个或者多个直角三角形中，有无公共边或者等量线段，利用未知数表示公共线段或者等量线段 【例题精讲】 1-1．（2022秋•商丘期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E． （1）求证：∠ABD＝∠ADE． （2）若⊙O的半径为，AD＝3，求CE的长． 2-1．（2021秋•睢县校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交AB于点E，连接CE，且CB＝CE． （1）求证：CE是