精品解析：江苏省南京市中山中学2022年普通高中数理人才贯通培养实验项目能力检测数学部分

2022年普通高中数理人才贯通培养实验项目能力检测数学部分 一、填空题 1. ，求______． 2. ，当时，，求的取值范围______． 3. 如图，在Rt中，，，，，为内心，求______． 4. 已知，求为______． 5. 已知有实数解，求的最大值为______． 6. 在四边形中，，求的最大值为______． 7. 已知、为方程的两根，求的最小值. 8. 若一个直角三角形中两条直角边都是整数，且周长是面积的整数倍，则称其为“三角形”，则这样的“三角形”共有______个. 二、解答题 9. 已知对于任意实数、，都有，特别地，当、都正数时，有. （1）已知，求最小值______. （2）已知，求最大值为______. （3）都正数，，求最小值. 10. 求证：数列中一定有2022的倍数． 11. 已知为方程解，， （1）求证：. （2）求的值. 12. 已知：底与腰之比为的等腰三角形为黄金三角形. （1）如图1，即为黄金三角形尺规作图.已知，求长为______，为______. （2）如图2，即为正五边形尺规作图.求证：五边形（所作图形）即为正五边形. （3）请用另一种方法尺规作图作出正五边形简要叙述作图方法，无需作图. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022年普通高中数理人才贯通培养实验项目能力检测数学部分 一、填空题 1 ，求______． 【答案】 【解析】 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 2. ，当时，，求的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】把解析式化成交点式, 求得交点为 ， 然后根据题意得出关于 的不等式，解不等式从而得出 的取值范围. 【详解】， 抛物线与 轴的交点为 ， ，当 时，， ，解得 ， 故答案为： . 3. 如图，在Rt中，，，，，为内心，求______． 【答案】 【解析】 分析】作出辅助线，根据内心相关知识计算即可得出结论. 【详解】过点作、的垂线，垂足为和， 根据勾股定理可得，， 根据等积法可得，， 所以，，. 根据内心相关知识计算： ， ， 则. 故答案为： 4. 已知，求为______． 【答案】## 【解析】 【分析】作辅助线，利用相似三角形的性质求解即可. 【详解】过点作交的延长线于点， ， 由题设知，， ，则， 故答案为： 5. 已知有实数解，求的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，分三种情况讨论的范围，取二次函数的最值，求解的取值范围，从而得出结论. 【详解】因为，所以有实数解， 令，则， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，，当时，，所以，则的最大值是. 故答案为： 6. 在四边形中，，求的最大值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】将 绕 点逆时针旋转 得到 ，则根据旋转的性质得 , ， 再判断为等边三角形得到 ， 根据三角形三边的关系得到，从而得到的最大值为 4 ，于是 BD 的最大值为 4 . 【详解】， 将 绕 点逆时针旋转 得到 ， ， 为等边三角形， ， （当且仅当共线时取等号）， 的最大值为 ， 的最大值为 4 . 故答案为: 4 . 7. 已知、为方程的两根，求的最小值. 【答案】9 【解析】 【分析】利用一元二次方程的概念及性质可求出，从而可代入，再利用二次函数的最值即可求得结论. 【详解】 、为方程的两根， 则， ， 当时，取到最小值， 故，即最小值为9. 8. 若一个直角三角形中两条直角边都是整数，且周长是面积的整数倍，则称其为“三角形”，则这样的“三角形”共有______个. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意设两直角边分别为、，且；设周长是面积的倍，为正整数，建立关于、的等式并运算化简分析，即可得出结论. 【详解】易知当直角三角形的直角边相等时，斜边为无理数，从而周长为无理数， 而面积是有理数，不可能满足题意. 设两直角边分别为、，且， 设周长是面积的倍，为正整数， 则， 移项、平方去根号、化简得：， ， 或， （因，所以不考虑分解为两负数相乘）， 或或， 所以这样的“三角形”共有3个； 故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：将题干的题意转化为数学表达式并化简分析是解题关键. 二、解答题 9. 已知对于任意实数、，都有，特别地，当、都为正数时，有. （1）已知，求最小值为______. （2）已知，求最大值为______. （3）都正数，，求最小值. 【答案】（1）7 （2）3 （3）11 【解析】 【分析】（1）利用配凑法，再结合基本不等式即可求解； （2）利用换元代入法，再结合基本不等式即可求解； （3）利用换元法，再