5.3 导数与函数的单调性-2023-2024学年高二数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019选择性必修第二册）

5.3 导数与函数的单调性 1 函数单调性与导数 在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 解释 (1) 若函数在某个区间内单调递增，则(含等号)恒成立，但不存在一区间内使得； 假如存在一区间内使得，那原函数在区间内恒等于一个常数，即是个常数，则原函数不可能在内单调递增. 函数在某个区间内单调递减有类似结论！ (2)导函数“穿线图”与原函数“趋势图” ① 导函数“穿线图”关注导函数在各区间的正负，故特别注意函数与轴的交点情况， 如与的“穿线图”视为一样的，它们在上为负，在上为正. ② 原函数“趋势图”仅关注函数在各区间上的单调性，没顾及其最值或曲线形状等， 如由导函数的“穿线图”易得原函数在上递减，在上为递增，趋势图可如下图， ③ 后面涉及到函数单调性均可通过分析导函数“穿线图”得出原函数的单调性. 2 对含参函数单调性的分析思路 (1) 如何分析原函数的单调性？ 答：分析原函数的单调性等价于分析导函数的正负性. (2) 那如何分析导函数的正负性呢？。 答：数形结合，若能得到导函数的“穿线图”(即解导数不等式，与其零点有莫大关系))，看图“说话”便可，进而得出原函数的“趋势图”(即原函数的大致趋势)也不难了(看下图). (导函数看“零点”，原函数看单调性) (3) 那要得到导函数的“穿线图”，要注意什么呢？ 答：掌握“一次函数”型、“二次函数”型、“指数函数”型常见模型，画“穿线图”思考以下问题： ① 导函数是否存在零点； ② 若存在，有几个零点呢？若有两个以上，哪个零点大？ ③ 零点是否在定义域内？ (4) 怎么做到准确的分类讨论呢？ 答：① 熟悉模型，确定分类讨论的标准； ② 做到分类讨论“不漏不重”，把每项分类看成一个集合，每个集合的交集为空集则“不重”，所有集合的并集为参数的全集则为“不漏”. 3 各模型分类讨论的标准 分类讨论要确定每步分类的标准，做到有根有据. “一次函数”型：是否一次函数，直线斜率大于0还是小于0，函数零点与定义域端点的大小； “二次函数”型：确定是否二次函数，开口方向，判别式(是否有零点)，零点比较大小，零点与定义域端点的大小； “指数函数”型：是否存在零点；利用导函数正负性的等价可转化为二次函数讨论. 【例】利用导数的方法求函数的单调性. 解 ， ① 当时，，在上递减； ② 当时，令，解得；令，解得； 所以在上递减；在上递增； ③ 当时，令，解得；令，解得； 所以在上递减；在上递增. 解不等式时，不能想当然:；要分，，三种情况讨论. 也可以借助导函数“穿线图”的想法(研究导函数的在各区间的正负)，得到相同结果。 时 时 时 导函数“穿线图” 原函数单调性 在上递减 在上递减 在上递增 在上递减 在上递增 【题型1】 导函数的“穿线图”与原函数的“趋势图” 【典题1】 设函数 在定义域内可导， 的图象如图所示， 则导函数 的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 【巩固练习】 1. (★) 如图所示为 的图象， 则函数 的单调递减区间是 A. B. C. D. 2. (★)设函数 在定义域内可导， 图象如图所示， 则导函数图象可能为 ( ) A. B. C. D. 3. (★★)已知定义在区间 上的函数 的图象如图所示， 若函数 是 的导函数，则不等式 的解集为 ( ) A. B. C. D. 【题型2】 求不含参函数的单调性 【典题1】（多选）下列函数在定义域上为增函数的是 ( ) A. B. C. D. 【典题2】已知函数，其中，且曲线在点处的切线平行于轴． (1)求实数的值；(2)求函数的单调区间． 【巩固练习】 1. (★) 函数的单调递减区间是( ) A． B． C． D． 2. (★★) 函数的一个单调递减区间是(　　) A． B． C． D． 3. (★★★)已知函数 为自然常数 ， 记 ， 则 的大小关系为( ) A. B. C.