6.2.4 平面向量的数量积-2023-2024学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

6.2.4 平面向量的数量积 1 概念 如果两个非零向量 ，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作:，即 解释 (1) 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功; (2) 规定：零向量与任一向量的数量积是; (3) 若，那我们说与垂直，记作； (4) 数量积是一个实数，不再是一个向量； (5) 注意确定向量的夹角，其中与的夹角，而与的夹角. 2 投影 ① 向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于. ② 向量在向量上的投影向量(模为且与向量同向的向量)： ， (注：与向量同向的单位向量为) 3 数量积的性质 设 是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 (1) ， (2) ， (3) 当与同向时，；当与反向时，. 特殊地，. (4) . 4 运算法则 对于向量 和实数，有 (1) (2) (3) ( 但是 不一定成立. (当向量，不共线时，向量与向量肯定不共线，那怎么可能相等呢) 即向量的数量积满足交换律，分配率，但不满足结合律. 【题型1】 求数量积 【典题1】 已知向量a，b满足，则　 　． 【典题2】在正三角形△ABC中，AB＝2，M，N分别为AB，AC的中点，则＝(　　) A． B． C． D． 【典题3】已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则 (　　) A． B．﹣1 C． D．0 【巩固练习】 1. (★) 已知，，是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是(　　) ①；②反向； ③；④． A． B． C． D． 2. (★) 已知向量满足，且，则 (　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 3. (★)已知非零向量满足，，若，则实数的值为(　) A．9 B．10 C．11 D．－16 4. (★)在中，，则　 ． 5. (★)设向量满足的夹角为，则________． 6. (★★)已知平行四边形中，，点为边的中点，则的值为 　． 7. (★★)在△ABC中，AC＝2，AB＝3，∠A＝60°，点P是△ABC的重心，则＝ . 8. (★★★)在平面四边形 中， 分别为 的中点. 若 ， 且 ，则 . 【题型2】 求向量的投影和投影向量 【典题1】 已知，且与夹角，则在上的投影为 【典题2】已知单位向量满足， 则在方向上的投影向量为( ) A. B. C. D. 【巩固练习】 1. (★) 已知，则向量方向上的投影为__________． 2. (★)已知，与的夹角为，则在上的投影为 3. (★★) 若向量 满足 ， 且 ， 则在上的投影向量为 A. B. C. D. 【题型3】求向量夹角 【典题1】已知向量满足，，则与的夹角的最大值为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 【巩固练习】 1. (★) 若向量满足，且，向量的夹角为 2. (★★) 已知向量满足，，那么向量与的夹角为(　　) A． B． C． D． 3. (★★)已知非零向量 与 满足 ， 若 ， 则( ) A. B. C. D. 【题型4】数量积的综合问题 【典题1】 设为非零不共线向量，若，则(　　) A． B． C. D. 【典题2】如图，已知四边形，，，是的中点，，若，则的最小值为　　． 【巩固练习】 1. (★) 在四边形中，若且，则(　　) A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形 2. (★★)已知平面非零向量的夹角为 ， 且满足， 则的最小值为( ) A. B. 12 C. D. 24 3. (★★) 已知是所在平面内一点，向量满足条件，且，则是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 4. (★★★)在平面四边形 中， 分别为 的中点. 若， 且 ，则 A. B. C. D. 5. (★★)如图，AB