6.1—6.2.3 平面向量的概念与运算-2023-2024学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

6.1—6.2.3 平面向量的概念与运算 知识点一 平面向量的概念 1 向量的概念 既有大小又有方向的量，常用，等表示；向量的长度是向量的模，记作. PS 平面向量在平面内是可以任意移动的. 2 常见向量的概念 名称 定义 特点 零向量 长度为的向量 零向量的方向是任意的 单位向量 长度为一个单位长度的向量 与共线的单位向量是 相等向量 长度相等且方向相同的两个向量 相等向量有传递性 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，， 记作 零向量和任何向量平行 相反向量 长度相等方向相反的向量 的相反向量记作 PS (1) 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； (2) 平行向量无传递性！(因为有； (3) 因为平面向量在平面内是可以任意移动的，与线段不一样，所以向量没有固定的起点和终点，两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念. 图一线段和在①中是，在②中是、共线； (图一) 图二向量和对于向量来说共线与平行是同一概念，故①和②的情况是一样. (图二) 知识点二 平面向量的运算 1 向量的加法 ① 向量加法的三角形法则 已知向量非零向量在平面内取任意一点作，则向量叫做与的和，记作，即.(相当于”首尾相接”) ② 向量加法的平行四边形法则 若， 则向量 叫做 与 的和，即； 作图 (是平行四边形) 2向量的减法 ① 向量减法的几何意义 已知向量在平面内任取一点，作，则， 即可以表示向量的终点指向向量的终点的向量. ② 一般地 , 我们有 当且仅当方向相同时等号成立. ③ 向量的加减法满足交换律和结合律 ④ 若 (1) 如图一，若三点共线，则； (2) 如图二，若点和点在同侧，则； (3) 如图三，若点和点在异侧，则； 图一 图二 图三 特殊的，在三角形中，点是的中点，则. 3 向量数乘运算 一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作； 它的长度与方向规定如下： (1)； (2) 当时的方向与的方向相同；当时，的方向与方向相反； 4 两个向量共线 共线定理 非零向量与向量共线有且只有一个实数，使得 当时的方向与的方向相同； 当时，的方向与方向相反； 当 时，. 【题型1】 向量的相关概念 【典题1】 有下列命题： ①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同； ②若，则； ③若，则四边形是平行四边形； ④若，，则； ⑤若，，则； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中，假命题的个数是( ) A． B． C． D． 【典题2】如图，是正方形对角线的交点，四边形， 都是正方形，在图中所示的向量中： （1）与相等的向量有　　 ； （2）写出与共线的向量有　　 ； （3）写出与的模相等的向量有　 　； （4）向量与是否相等？答　　 ． 【巩固练习】 1. (★) 给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移．正确的是( ) A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 2. (★) 下列说法正确的是( ) A．零向量没有方向 B．空间向量不可以平行移动 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 3. (★)下列说法中正确的是(　　)[来源:Zxxk.Com] A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则不是共线向量 4(★)下列命题正确的是( ) A．若，，则 B．向量与向量的长度相等 C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 D．若，，则 5. (★★)若四边形满足：且，则四边形的形状是(　　) A．等腰梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 6. (★★)在等腰梯形中，，对角线与相交于点，是过点且平行于的线段，在所标的向量 （1）写出与共线的向量；（2）写出与方向相同的向量； （3）写出与，的模相等的向量；（4）写出与相等的向量． 7. (★★★)如图，半圆的直径，是半圆上的一点，分别是上的点，且，， (1)求证：；(2)求. 【题型2】 共线定理 【典题1】 已知向量不共线． (1)若，求证：三点共线； (2)欲使共线，试确定实数的值． 【巩固练习】 1. (★) 已知，则下面关系正确的是(　　) A．同向 B． C．