16.3 二次根式的加减-2023-2024学年八年级数学下学期重点题型方法与技巧（人教版）（解析版）

第十六章 二次根式 16.3 二次根式的加减 1 二次根式的加减运算方法 ① 不是最简二次根式的要先化成最简二次根式； ② 是最简二次根式，只把二次根式系数相加减，二次根式不变照写. 2 二次根式的混合运算 运算顺序：先乘方后乘除再加减，同级运算从左到右. 【题型1】 同类二次根式 【典题1】 若两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，则称这样的二次根式为同类二次根式，那么下列各组二次根式，不是同类二次根式的一组是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 【巩固练习】 1. (★)下列根式中与是同类二次根式的是(　　) A． B． C． D． 2. (★)下列二次根式，化简后能与合并的是(　　) A． B． C． D． 3. (★)下列二次根式中能与合并的二次根式的是(　　) A． B． C． D． 4. (★)下列各组根式是同类二次根式的是(　　) A．与 B．与3 C．和 D．和 5. (★★)如果最简二次根式与是同类根式，那么a的值是(　　) A．a＝5 B．a＝3 C．a＝﹣5 D．a＝﹣3 【题型2】 二次根式的加减法 【典题1】 (1)计算：；(2)化简：． 【巩固练习】 1. (★)下列计算正确的是(　　) A． B． C． D． 2. (★)计算的结果是(　　) A． B． C． D． 3. (★★)计算：． 4. (★★)计算：． 5. (★★)计算：． 【题型3】二次根式的混合运算 【典题1】 计算： (1) ； (2) ．； (3) ； 【典题2】化简求值：已知，求的值． 【典题3】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了以下探索：设，(其中a、b、m、n均为整数)，则有，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　． (2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n， 填空：　 　+　 　＝( 　 　+　　)2． (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值． 【巩固练习】 1. (★★)计算． (1) ； (2) ． 2. (★★)计算： (1) ； (2) ． 3. (★★)已知：． 求：(1)a﹣b的值；(2)ab的值；(3) 的值． 4. (★★)先化简，再求值：，其中a＝﹣3． 5. (★★)已知，求a2﹣ab+b2的值． 6. (★★★)已知． (1)求x2+3xy+y2的值；(2)求的值． 7. (★★★)在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴(a﹣2)2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1) 　 　； (2)化简：； (3)若，求a4﹣4a3﹣4a+3的值． 8. (★★★★)阅读材料： (一)在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 那么我们称这个过程为分式的分母有理化． (二)如果我们能找到两个实数x，y使x+y＝a且xy＝b， 这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式．” 例如：． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简：； (2)化简“和谐二次根式”． ①　　 ；②　 　． (3)已知，求的值． 【题型4】二次根式的应用 【典题1】某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形ABCD的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【巩固练习】 1. (★★)已知a、b、c是△ABC三边的长，则的值为(　　) A．2a B．2b C．2c D．2(a一c) 2. (★★)某小区有一块长方形的草地，这块草地的宽为，为美化小区环境，给这块长方形草地围上白色的低矮栅栏，所需的栅栏的长度为，那么这块草地的面积为(　　) A．24m2 B．(24﹣8)m2 C．48m2 D．(48﹣16)m2 3. (★★)用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形ABCD，如图所示，它的面积是75，AE＝3，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长