5.1.1数列的概念（二）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

5.1.1数列的概念（2） 数列的通项公式记作,那么它与函数有什么关系呢？ 这节课我们就一起来研究一下 数列与函数的关系 了解数列是一种特殊的函数，并能说出两者的共性和区别；（重点） 能利用数列与函数的关系进行相关问题的求解.（难点） 探究点1：数列与函数的关系 思考1：已知函数， 令写出对应的函数值，你能得到什么？ 可得到数列 2，，1，…，，….， ⑥ 追问1：写出数列的通项公式： . 追问2：数列{}可以看成函数吗？ an 2 1 1 2 3 4 … … 【提示】数列{}每一项的序号与这一项的对应关系，如右图所示，可以看成序号（下标）集合到另一个数的集合的函数. 其中，，函数值为an， 解析式为通项公式. 从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数. 数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式. 思考2：你能总结出一般数列与函数的关系吗？ 探究点2：数列的单调性 1 2 3 4 … 2 1 … 思考1：试用研究函数的方法研究⑥中数列的性质，你能得到什么？ 【提示】数列作为一种特殊的函数，也可以用列表法和图象法表示. 孤立的点 由于数列是定义在正整数集（或其子集）上的函数，所以它的图象是相应函数图象上横坐标为正整数的一些孤立的点. 因为函数是减函数，所以数列{}中的数逐渐减小. 思考2：参考函数单调性，你能给出数列单调性的定义吗？ 数列的单调性： 递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列叫递增数列； 递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列递减数列； 常数数列：各项都相等的数列称为常数数列（常数列） 追问：如何用符号表示数列的单调性？ 递增； 递减. ，， ，... ， ① 98，122，163，205，236，238，280. ② 3000， 3045， 3090， 3180， 3360. ③ 即时训练：判断前面出现的数列的单调性 ，， ，... ， ④ 2，，1，…，，….， ⑥ -1，1，-1 ，... ， ⑤ ①④⑥是递减数列 ②③是递增数列 ⑤是摆动数列 例3.已知函数,设数列的通项公式为,其中. （1）求证：； （2）判断是递增数列还是递减数列，并说明理由. 【解析】(1)由题意可知， 又因为，所以， 因此，，即. (2)（方法一：作差法）因为 . 又因为，所以， 从而，即. 因此是递增数列. 思考：如何比较与 的大小？ ， 思考：还有什么方法判断的单调性？ （方法三:函数法）因为函数在上是增函数， 由此可知，数列是递增数列. (2)（方法二：作商法）因为 ， 因为，所以，即 所以时，. 又因为. 因此是递增数列. 数列单调性判断方法： (1)定义法； (2)作差比较法：比较-与0的大小； (3)作商比较法：比较与1的大小； (4)函数法：数列通项公式为相应函数解析式. 【总结】 跟踪训练：已知函数,设数列的通项公式为,其中.判断是递增数列还是递减数列，并说明理由. 因为 . . 又因为，所以， 从而，即. 因此是递增数列. 【解析】(1)由题意可知， 当我们研究实际生活中两个变量的函数关系时，因为测得的都是一个个数据，因此我们常常借助数列来得出函数关系： 例如，为了解地高辛（一种用来治疗心脏病的药物）在病人血液中的含量与时间之间的函数关系，可以每天检测一次，假设得到的结果是 0.5,0.345,0.238,0.164,0.113,0.078. 可以根据这些数据作图，从而观察出与的关系可以近似地用 或其他关系式来刻画，然后再根据已知的数据确定和的值，就可以给出函数的近似表达式. 本节我们主要学习了： 1. 数列是一种特殊的函数； 2. 判断数列是递增数列还是递减数列. （1）作差、作商法. （2）函数法. $$