精品解析：浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题

宁波市2023学年第一学期期末考试 高三数学试卷 全卷共4页，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为虚数单位，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 体育课上，老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 72种 D. 96种 5. 已知是奇函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知，则下列选项中，能使取得最小值25的为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆左、右焦点分别为是椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点．若，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形中，已知，将沿翻折得四面体，作一平面分别与交于点，若四边形是边长为的正方形，则四面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，在每小題给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9. 数字经济是继农业经济、工业经济之后的主要经济形态．近年来，在国家的大力推动下，我国数字经济规模增长迅猛，《“十四五”数字经济发展规划》更是将数字经济上升到了国家战略的层面．某地区2023年上半年月份与对应数字经济的生产总值（即GDP）（单位：亿元）如下表所示． 月份 1 2 3 4 5 6 生产总值 30 33 35 38 41 45 根据上表可得到回归方程，则（ ） A. B. 与正相关 C. 若表示变量与之间的相关系数，则 D. 若该地区对数字经济的相关政策保持不变，则该地区7月份的生产总值约为亿元 10. 已知函数的部分图象如图所示，，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 在区间上既有极大值又有极小值 D. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位 11. 已知圆，抛物线的焦点为为抛物线上一点，则（ ） A. 以点为直径端点圆与轴相切 B. 当最小时， C. 当时，直线与圆相切 D. 当时，以为圆心，线段长为半径的圆与圆相交公共弦长为 12. 已知函数满足：对，都有，且，则以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题. 13. 的展开式中的系数为____________．（用数字作答）． 14. 某校元旦文艺汇演中，有八位评委对一舞蹈节目评分，该节目得分依次为，则这组数据的第70百分位数为____________． 15. “PVC”材质的交通路障因其便携、耐用、易塑形等优点被广泛应用于实际生活中．某厂家设计的一款实心交通路障模型如下图所示，该几何体的底部是一个正四棱柱（底面是正方形的直棱柱），上部是一个圆台，结合图中所给的数据（单位：），则该几何体的体积为____________． 16. 已知成公比为2等比数列，且．若成等比数列，则所有满足条件的的和为____________． 四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在中，内角所对的边分别为．已知． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 18. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）记为的导函数，若对，都有，求的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，底面，，点在上，，过点作垂线交于点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 20. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为．问：是否存在，使得，成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21. 某次高三数学测试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有错误选择或不选择得0分． （1）若小明对其中5道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，每题选到正确选项的概率均为，且每题的解答相互独立，记小明在这5道单选题中答对的题数为随机变量． （i）求； （ii）求使得取最大值时的整数； （2）若小明在解答最后一道多选题时，除发现A，C选项不能同时选择外，没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为，问：小明应如何作答才能使该题得分的期望最大（写出小明得分的最大期望及作答方式）． 22. 已知双曲线的中心为坐标