专题07平面向量的坐标运算-2023-2024学年高一数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019必修第二册）

07平面向量坐标运算 一、知识归纳： 1.平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量作 . 2.向量的坐标表示： （1）在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，对平面中的任一向量，有，我们把有序数对 叫做向量的坐标表示，其中叫做向量在轴上的坐标，叫做向量在轴上的坐标，记为. （2）若为坐标原点，，则向量的坐标就是终点的坐标. 3.平面向量运算的坐标表示： （1）已知，则；. （2）若，则. （3）已知，则. （4）设，则 . （5）设，则 . 4.向量共线定理的坐标形式：若，其中，则共线的充要条件为 . 5.中点坐标公式： 线段的端点的坐标分别为，点是线段中点，则的坐标为 . 6．平面向量的应用： （1），则 . （2）若，为的夹角，则 . 7.用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向： （1）几何法：选取适当的基底（尽量用已知模或夹角的向量作为基底），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算； （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法． 自检自纠： 1. 正交分解 2. 3. （1） （2） （3） （4） （5） 4. 5. 6. 二、分层小练 A.基础训练 一、单选题：（每小题5分，共30分） 1．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，向量（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影数量为（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题（每小题5分，有错选0分，有漏选得2分，共10分） 7．下列两个向量，不能作为基底向量的是（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的值为 B．若，则的值为 C．若，则与的夹角为锐角 D．若，则 三、填空题（每小题5分，共10分） 9．已知向量，，则 . 10．已知向量，，则与的夹角余弦值为 . B.提升强化 一、单选题：（每小题5分，共30分） 1．已知（2，﹣1），，且，则 A．1 B．3 C． D． 2．设，，，，则（    ）. A． B． C． D． 3．已知，记与夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．向量，若，则（    ） A．0 B． C．8 D． 5．已知向量（2，1），（，3），则向量在方向上的投影向量为（　  　） A． B． C． D． 6．已知是单位向量，且，则（    ） A． B．在上投影向量的坐标为 C． D．与的夹角为 二、多选题（每小题5分，有错选0分，有漏选得2分，共10分） 7．已知平面内三点，，，则（    ） A． B． C． D．与的夹角为 8．若向量，，下列结论正确的是（     ） A．若同向，则 B．与垂直的单位向量一定是 C．若在上的投影向量为（是与向量同向的单位向量），则 D．若与所成角为锐角，则n的取值范围是 三、填空题（每小题5分，共10分） 9．设向量，向量，向量，若且，则与的夹角大小为 . 10．已知平面向量满足，，，则的最小值为 试卷第2页，共4页 2 / 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 07平面向量坐标运算 一、知识归纳： 1.平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量作 . 2. 平面向量的坐标表示： （1）在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，对平面中的任一向量，有，我们把有序数对 叫做向量的坐标表示，其中叫做向量在轴上的坐标，叫做向量在轴上的坐标，记为. （2）若为坐标原点，，则向量的坐标就是终点的坐标. 3.平面向量运算的坐标表示： （1）已知，则；. （2）若，则. （3）已知，则. （4）设，则 . （5）设，则