6.3 实数 讲义 2023-2024学年人教版七年级数学下册

第六章 实数 6.3 实数 知识梳理 1、有理数和无理数的小数形式 （1）任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，反过来任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 【例】，，，. （2）无限不循环小数叫做无理数。 【例】，，，，。 2、实数 有理数和无理数统称实数。 按大小分类如下： 3、实数的性质 （1）实数与数轴上的点是一一对应的； （2）有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。 ①实数的相反数是； ②一个正实数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是. 即（是实数） 【例】 的相反数是，。 4、实数大小比较的几种常用方法 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. （2）求差比较：设a、b是实数， ①a-b>0→a>b ②a-b=0→a=b ③a-b<0→a<b （3）求商比较法：设a、b 是两正实数 （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则lal>lbl→a<b （5）平方法：设a、b是两负实数，则 5、实数的混合运算 实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二能为运算，乘方为三级运算.同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行. 例题讲解 【题型一】无理数的概念 【例1.1】下列说法，正确的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．无理数是带根号的数 D．分数是无理数 【例1.2】下列各数：，其中无理数的个数有 个． 【题型二】实数的概念及分类 【例2.1】下列说法正确的是（    ） A．所有无限小数都是无理数 B．实数分为正实数、负实数、0 C．是分数 D．无理数与无理数的和仍是无理数 【例2.2】把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，3.14，0，（每相邻两个2之间依次多一个3），． 有理数：{                                 …}； 无理数：{                                 …}； 正实数：{                                 …}； 负实数：{                                  …}． 【题型三】实数与数轴的关系 【例3.1】数轴上点所表示的实数是（    ）    A． B． C． D． 【例3.2】如图，一条长度为的线段绕着O点旋转一周，当与数轴重合时，A点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【例3.3】如图，在数轴上表示2，的对应点分别是，是的中点，则点表示的数（    ）    A． B． C． D． 【题型四】实数的性质 【例4.1】的倒数是 ，3﹣的绝对值是 ． 【例4.2】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．3和 C．和 D．和 【例4.3】数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简= ．    【例4.4】实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|b|+|a|的值　 　． 【例4.5】已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的相反数为，f的算术平方根是8，求的值． 【题型五】比较实数的大小 【例5.1】在实数，0，，中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D． 【例5.2】比较2，，的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型六】实数的运算 【例6.1】计算：(1) ； (2) ． (3)﹣22|2|． (4) ； 【例6.2】先阅读，然后解答提出的问题： 设a，b是有理数，且满足，求ba的值． 解：由题意得(a﹣3)+(b+2) ＝0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数， 由于是无理数，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝(﹣2)3＝﹣8． 问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2y+y＝8+4，求x+y的值． 【例6.3】数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：≈1.414⋯，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1) 的小数部分是多少，请表示出来． (2)a为的小数部分，b为的整数部分，求a+b−的值． (3)已知8+＝x+y，其中x是一个正整数，0