6.1 平方根 讲义 2023-2024学年人教版七年级数学下册

第六章 实数 6.1 平方根 一、算术平方根 知识梳理 1、算术平方根 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。 的算术平方根记为，读作“根号”，叫做被开方数. 规定：的算术平方根是.记作: =0. 【解释】 ① 只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根； 举例：的算术平方根是，即；的算术平方根是，即。 ② 正数越大，它的算术平方根越大，即若，则. 比如：因为，所以，即. 【注意】实际上省略了中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此也读作：“二次根号a”. 2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性. ①被开方数一定是非负数，即a≥0. ②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0. 3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根. 4、算术平方根的估算 求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，一般采用逼近法，是指从两边确定取值范围，一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度. 5、用计算器求算术平方根 （1）在求某些数的算术平方根时，有些数很大或很小，或不易求出算术平方根，为了提高计算速度，我们可以利用计算器，按照一定的按键顺序直接快速地求出这个数的算术平方根. （2）大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值). 例题讲解 【题型一】算术平方根的概念 【例1.1】求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例1.2】计算的结果为（    ） A．5 B． C． D． 【题型二】求一个数的算术平方根 【例2.1】求下列各数的算术平方根： （1）144； （2）0.49； （3）6； （4）（）2． 【例2.2】的算术平方根是(　　) A．4 B．±4 C．±2 D．2 【题型三】算术平方根双重非负性的应用 【例3.1】已知a，b满足（a﹣1）20，则a+b的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．0 【例3.2】已知实数x，y满足|x+3|0，则代数式（x+y）2022的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2018 D．﹣2018 【题型四】算术平方根的估算 【例4.1】已知：xy（x，y是两个连续整数），则x，y的值为（　　） A．x＝2，y＝3 B．x＝3，y＝4 C．x＝4，y＝5 D．x＝5，y＝6 【例4.2】一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（　　）． A．5与5.5之间 B．5.5与6之间 C．6与6.5之间 D．6.5与7之间 【例4.3】通过估算，比较下列各组数的大小： （1）6 　 　； （2）　 　； （3）　 1； （4）　 　1． 【例4.4】已知5+的整数部分为a，5﹣的小数部分为b，则a+b的值为　 ． 【题型五】用计算器求一个正数的算术平方根 【例5.1】利用计算器计算出的下表各数的算术平方根如下，则a的值是（    ） …… 25 a …… A． B． C． D． 【例5.2】若利用计算器求得，，则根据此值估计6619的算术平方根是 变式训练 1．的算术平方根是（　　） A．±6 B．6 C． D． 2．已知，不用计算器可直接求值的式子是（　　） A． B． C． D． 3．数轴上表示数的点应在(　　) A．﹣1与0之间 B．0与1之间 C．1与2之间 D．2与3之间 4．已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．通过估算比较大小，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若，则mn的值是 　 　． 7．若x、y为两个连续的整数，且xy，则x+y＝　 　． 8．已知，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根． 9．某学校有一块长、宽分别为38m和16m的长方形空地，计划沿边建造一个长宽之比为5：3且面积为540m2的长方形标准篮球场，请判断该学校能否用这块长方形空地建造符合要求的篮球场？并说明理由． 10．如图，用两个边长为cm的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形. （1）则大正方形的边长是 　 　cm； （2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为3：2且面积为30cm2的长方形纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 二、平方根 知识梳理 1、平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根。这就是说，如果，那么叫做的平