6.1 平方根 2023-2024学年七年级数学下学期重点题型方法与技巧（人教版）

第六章 实数 6.1 平方根 1 算术平方根 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。 的算术平方根记为，读作“根号”，叫做被开方数. 规定：的算术平方根是. 解释 ① 非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根； ② 举例：的算术平方根是，即；的算术平方根是，即。 ③ 正数越大，它的算术平方根越大，即若，则. 比如：因为，所以，即. 2 平方根 （1）一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根. 这就是说，如果，那么叫做的平方根. （2）求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方和开平方互为你运算. 解释 ① 正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根； ② 举例：的平方根是和；的平方根是和。 【题型1】 求一个数的算术平方根或平方根 【典题1】 在下列结论中，正确的是(　　) A． B．x2的算术平方根是x C．﹣x2一定没有平方根 D．的平方根是 【典题2】已知，则　 　，≈　 　． 【巩固练习】 1. (★)﹣1的平方根说法正确的是(　　) A．1 B．﹣1 C．±1 D．没有 2. (★)实数16的平方根是(　　) A．4 B．﹣4 C．±4 D．±8 3. (★)一个数的平方根等于它本身，则这个数是(　　) A．1 B．0 C．﹣1 D．0或1 4. (★)下列说法正确的是(　　) A．是的平方根 B．0.2是0.4的平方根 C．﹣2是﹣4的平方根 D．是的平方根 5. (★)下列说法： ①；②，③0.01是0.1的平方根； ④的算术平方根是；⑤﹣32的平方根是±3． 其中正确的个数有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6. (★★)若，则的值为(　　) A． B． C．﹣2 D．2 7. (★★)已知实数x，y满足|x﹣1|+(3x+y﹣1)2＝0，则的值是(　　) A．3 B．±3 C．4 D．±4 8. (★★)若，则172010的算术平方根是 　 ． 【题型2】 平方根的性质 【典题1】 已知正数a的两个不同的平方根分别是 2x﹣2 和 6﹣3x，a﹣4b 的算术平方根是4． (1)求a，b的值；(2)求 a﹣b2﹣2 的平方根． 【巩固练习】 1. (★)若m+4与m﹣2是同一个正数的两个平方根，则m的值为(　　) A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 2. (★)如果一个正数的平方根是a+3及2a﹣15，那么这个正数是(　　) A．441 B．49 C．7或21 D．49或441 3. (★★) 已知x＝1﹣2a，y＝3a﹣4． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 【题型3】算术平方根的非负性 【典题1】 已知a、b、c都是实数，若，则的值等于(　　) A．1 B．﹣ C．2 D．﹣2 【巩固练习】 1. (★)已知x，y都是实数，且，则xy＝(　　) A．1 B．4 C．﹣1 D．﹣4 2.(★)，则a+b＝(　　) A．a+b＝﹣1 B．a+b＝1 C．a+b＝2 D．a+b＝3 3. (★★)若x，y为实数，且(x﹣1)2与互为相反数，则x2+y2的平方根为(　　) A． B． C．±5 D． 4. (★★)已知与互为相反数，z是64的平方根，求x﹣y+z的平方根． 【题型4】一个数算术平方根的估值 【典题1】 估计的值在下列哪两个整数之间(　　) A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定 【典题2】 阅读下面的文字，解答问题． 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： ∵4＜7＜9，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． (1)求出的整数部分和小数部分． (2)若其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y． (3)已知的小数部分是a，的小数部分是b，求a+b的值． 【巩固练习】 1. (★)已知，则以下对m的估算正确的(　　) A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6 2. (★)若的整数部分为a，小数部分为b，则数轴上表示实数a，﹣b两点之间的距离为(　　) A． B． C． D． 3. (★★)任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，例如[5]＝5，[]＝2，若将a变换成[]称为对a进行一次操作，例如：现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，对一个数进行类似操作，下列说法正确的个数是(　　) ①对1