导数压轴题型分类总结　讲义——2024届高三数学三轮冲刺

导数压轴题型分类总结试炼 目录 【导数】恒成立之参数分离 1 【导数】恒成立之直接讨论 6 【导数】未知极值点的处理 10 【导数】未知极值点的处理（进阶） 11 【导数】极值点偏移 15 【导数】常见三连放缩应用 18 【导数】三角放缩 23 【导数】涉及数列求和放缩 27 【导数】极值点“0”的运用 30 【导数】恒成立之参数分离 典例1：多次求导主流思想应用 已知函数. (1)当时，讨论的单调性，并求出极值； (2)当时，，求的取值范围. 典例2隐根处理的参数分离 已知函数． (1)若，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意，有恒成立，求整数m的最小值． 参考答案： 1．(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值为1，无极大值； (2). 【分析】（1）利用导数求解即可； （2）当时，不等式等价于，然后利用导数求出右边的最大值即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， ，显然， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在时，取得极小值为，无极大值； （2）由题意得，不等式为 ， ①当时，不等式为：，显然成立，符合题意，此时； ②当时，不等式等价于. 令 ， 则  .         令，则， 而，所以，所以在上单调递减， 所以，即. 从而在上单调递减， 所以，即在上恒成立. 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以，在处取得极大值，也是最大值，. 因此，. 综上可得，实数的取值范围是. 2．(1)极大值为，无极小值． (2)分类讨论，答案见解析. (3)1 【分析】（1）求导，通过导数判断函数单调性，然后可得； （2）求导，分，讨论可得； （3）参变分离，将问题转化为在上恒成立问题，记，利用导数求函数的最大值所在区间可得. 【详解】（1）的定义域为， 当 时，， 令，解得 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减． 所以在时取得极大值为，无极小值． （2）因为 当时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当时 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （3）因为对任意，恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立． 设，则． 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即． 当时，； 当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以． 因为，所以， 故整数的最小值为1． 【点睛】本题第三问属于恒成立问题,恒成立问题比较常见的处理方法之一便是参变分离法,然后构造函数转化问函数最值问题,利用导数可解. 【导数】恒成立之直接讨论 典例1简单分类 已知. 当时，不等式恒成立，求m的取值范围； 典例2：复杂分类 已知函数，，. （1）若函数在处的切线斜率为，求的值； （2）若任意，恒成立，求的取值范围. 参考答案： 1．（1）. 【详解】（1）依题意，当x≥0时，恒成立. 设，则x≥0时，k(x)≥0恒成立， 若，则x>0时，，k(x)在[0，+∞)上为增函数. 于是，x≥0时，k(x)≥k(0)=0.因此，符合要求. 若，则2m>1，0<x<ln(2m)时，k'(x)<0，k(x)在上为减函数. 于是，.因此，不符合要求. 所以m的取值范围为. 2．（1）；（2）. 【分析】（1）求出，根据题意，解方程即可求解. （2）求出，，令解得，，讨论或或或，求出函数的单调区间，将不等式恒成立转化为求函数的最值问题即可. 【详解】解：（1）因为， 所以， 因为函数在处的切线斜率为， 所以，解得. （2）由（1）知，，， 令解得，， ①当时，，在上，， 所以，单调递减； 在上，，所以，单调递增； 要使任意，恒成立， 即有，解得，不满足； ②当时，在上，， ，所以，单调递增； 在上，，，所以，单调递减； 在上，，，所以，单调递增； 要使任意，恒成立，即有，解得，不满足； ③当时，结合②易知，在单调递增；在单调递减； 在单调递增；要使任意，恒成立，即有， 解得，所以，满足； ④当时，在单调递增；在单调递减； 要使任意， 恒成立，即有， 解得，所以，满足； 综上：的取值范围为.） 【点睛】本题考查了导数的几何意义、根据函数的斜率求参数值、利用导数研究不等式恒成立，考查了转化与划归的思想以及分类讨论的思想，属于难题. 【导数】未知极值点的处理 已知. 求证：当时，. 参考答案： 解法一：设，则. 当x<ln4时，g'(x)<0；当x>ln4时，g'(x)>0 所以g(x)在(-∞，ln4]上为减函数，在[ln4，+∞)上为增函数. 所以g(x)≥g(ln4)=4-4ln4. 由此可得，g(x)=ex-4x≥4-4ln4，即， 当且仅当x=ln4时等号成立. 所以x>0时， ， 当且仅当x=ln4时等号成立. 设h