2.3.1平均值不等式及其应用 教学设计-2023-2024学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

平均值不等式及其应用 一、教材分析  基本不等式在估计与证明、比较大小以及求解一些最值问题上都有应用，平均值不等式作为基本不等式之一，反映两数和与积之间存在的大小关系，是解决许多数学与实际问题的有效工具.教材将其安排在不等式的性质与求解之后，并作为基本不等式的开篇，既深化了不等式证明方法的应用，也进一步体现了相等与不等关系的内在联系，为引导学生从求解特定不等式迈向应用不等式解决问题奠定基础.此外，本节课可以进一步体现数与形是密不可分的，为后续三角不等式的推导与阐释做好铺垫. 二、教学目标 从矩形的周长与面积出发，通过对直观图形的认知和分析，初步建立两正数和与积的数量关系，深入数形结合思想，发展直观想象、数学抽象素养.在此基础上，理解和掌握平均值不等式与常用不等式的内容及其证明，并学会通过凑配与代换应用不等式解决一些证明与求最值问题，发展逻辑推理素养. 三、教学重点和难点 教学重点：平均值不等式与常用不等式的内容及其应用. 教学难点：通过凑配与代换解决应用基本不等式求最值的问题.  四、教学过程 （一）创设情境，引入课题 请同学们思考这样一个问题： 【问题1】周长相等的矩形中，满足什么条件，矩形的面积最大？ 请一位同学来试一试.对于周长固定的矩形ABCD，拖动点C，观察矩形的面积变化.（记录长、宽、面积3-5组）根据数据，你能发现什么规律？（a和b越接近，面积越大）那么，如何用严格的数学语言来表达这一结论呢？ 设计意图：通过几何画板，让学生从几何问题中直观地发现不等关系，为几何平均值与平均值不等式的知识形成做好铺垫. （二）探索推理，形成知识 如果将矩形的长和宽分别设为a、b（ab>0），当矩形的周长固定，即a+b为定值时，则有矩形的面积ab最大值在a=b时取到，也就是矩形变为正方形时的面积.那么，正方形的面积如何表示？我们得到了第一个不等式，即. 因为a、b为正数，将不等式的两端加上根号后，不等式依然成立，且取等条件不变.此时，不等式的左端为ab的算术平均值，而右端为ab的几何平均值.这个不等式揭示了ab的两种平均值之间的关系，即两个正数的算术平均值大于等于几何平均值，因而称为平均值不等式. 【平均值不等式】若、，，当且仅当时等号成立. 根据观察面积变化得到的不等式，正确吗？ 【问题2】如何证明平均值不等式？ 设计意图：引导学生经历先猜后证的过程，完善不等式证明思路，形成严谨的数学思维习惯. 为了使用方便，我们也将平均值不等式变形为. 【思考】为何我们称平均值不等式为基本不等式？ 首先，平均值不等式可用于根式的估计.其次，通过代换可以得到关于不同类型变量的不等式.观察结构，实现数或代数式的和积互化；因为不等关系，也可以完成不等式的放缩与证明；因为取等条件，可以实现求最值. 【变形】以a2代a，b2代b，注意到a2和a范围，得到常用不等式. 设计意图：从估计、代换、解决实际问题的角度，引导学生体会基本不等式的重要作用，关注变量代换时取值范围的变化. （三）巩固应用，深化知识 【例1】证明：已知，求证：，并指出等号成立条件. 设计意图：让学生经历完整的应用所学进行基本的不等式证明，关注取等条件，提升思维的严谨性与论证的规范性. 【例2】若，则的最____值为_________． 【变式】若，则的最____值为_________． 设计意图：让学生关注平均值不等式使用条件的重要性，渗透代换与凑配的思想. 【例3】若，则的最_____值为_________. 【变式1】若，则的最_____值为_________. 【变式2】若，则的最____值为_________. 设计意图：让学生通过凑配常数与系数解决积为定值时求两代数式和最值的问题，形成在等号能成立时“积定和最小”的认识. 【例4】（1）若，的最____值为________. （2）设且，求的最小值. 设计意图：例4（1）让学生经历通过分离的想法凑配积为定值结构以解决最值问题；例4（2）则涉及双变量问题，启发学生建立两数之间和与差同平方和与交叉项之间的联系，进而凑配得到积为定值结构. 【例5】（1）设a、b为正数，且a+2b=1，求ab的最大值. （2）已知实数满足，求的最大值． 设计意图：例5承接例4，为应用常用不等式1求最值的双变量问题，让学生凑配积为定值的情况，体现“和定积最大”的想法. （四）总结回顾，拓展知识 本节课，我们主要学习了平均值不等式，通过等周长与等面积问题，探讨了a+b与ab、ab与a2+b2之间的大小关系，解决了一些不等式证明与求代数式最值的问题.注意使用条件与取等条件. 【问题】a+b与a2+b2之是否存在某些关系？中，a、b的范围能否扩大？ （五）作业