第二讲 数列的递推公式　讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第二讲 数列的递推公式 【学习目标】1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累乘法求通项公式.3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式． 一、数列的递推公式 问题1　观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？ 提示　自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，即a1＝4，a2＝5＝4＋1＝a1＋1，a3＝6＝5＋1＝a2＋1.依此类推：an＝an－1＋1(2≤n≤7)． 知识梳理 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 注意点： (1)通项公式反映的是an与n之间的关系． (2)常见的递推关系一般是数列任意两个或三个相邻项之间的推导关系，需要知道首项或前几项，即可求数列中的每一项． 例1　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a6； a2 023. 解　a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－， a4＝＝＝， a5＝＝＝2， a6＝＝＝－3. 由题知，a5＝2＝a1，a6＝－3＝a2，…， ∴{an}是周期为4的周期数列， ∴a2 023＝a4×505＋3＝a3＝－. 反思感悟　递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若序号很大，则应考虑数列是否具有规律性(周期性)． 变式练习1　已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是(　　) A．1 B. C. D. 答案　C 解析　a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝. 变式练习2 在数列中，，，则等于（ ）． A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由，可得：， 故数列为周期性数列，每3项为一循环， 而 ，故，故选：C 变式练习3 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，则a2 023等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　C 解析　∵a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1， ∴a3＝1－a1－a2＝1－1－2＝－2， a4＝1－a3－a2＝1－(－2)－2＝1， a5＝1－a4－a3＝1－1－(－2)＝2， … 由此推理可得数列{an}是一个周期为3的周期数列， ∴a2 023＝a1＝1. 二、由递推公式求通项公式 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(只适用于选择题、填空题) (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法． ②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法． ③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决． 题型一:累加法 例2-1 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　　an＋1－an＝－， a1＝1， a2－a1＝1－， a3－a2＝－， a4－a3＝－， … an－an－1＝－(n≥2)， 以上各项相加得 an＝1＋1－＋－＋…＋－. 所以an＝(n≥2)． 因为a1＝1也适合上式， 所以an＝(n∈N*)． 变式练习1 已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2)，求an. 解　因为an＝an－1＋－(n≥2)， 所以an－an－1＝－. 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1＝－＋1. 又a1＝1也符合上式， 所以an＝－＋1，n∈N*. 变式练习2 已知数列满足，对任意的都有，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得：， ，，，…，， 各式作和得：， ，.故选：C. 变式练习3 数列满足，且，则（ ） A．4043 B．4044 C．2021 D．2022 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以，即为常数列，又， 所以， 所以，解得，故选：A. 题型二:累乘法 例2-2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an，则an等于(　　) A．n＋1 B．n C. D. 答案　D 解析　由题意，因为数列{an}满足an＋1＝an，所以＝， 所以an＝··…···a1＝××…×××1＝. 变式练