4.1 数列的概念及通项公式 讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第一讲 数列的概念及通项公式 【学习目标】1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.5.了解数列是一种特殊函数． 一、数列的概念与分类 问题1　观察以下几列数： (1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7,49,343,2 401,16 807； (2)战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…； (3)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 023,2 023，…，2 023； (4)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，…； (5)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，，－，，…； 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：(1)(3)项数有限，(2)(4)(5)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)每一项在依次变小，(3)项没有发生变化，(4)项呈现周期性的变化，(5)项的大小交替变化． 知识梳理 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 3. 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 注意点： (1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列． (2)同一个数可以在数列中重复出现． (3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项． 例1　下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ (1)1,0.84,0.842,0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7，…； (4)，，，，…； (5)10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2,1； (6)0，－1, 2，－3, 4，－5，…. 解　(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列；(6)是摆动数列． 反思感悟　(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断． (2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 变式练习1　下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？ (1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021,2 022,2 023； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)－，，－，，…； (5)1,0，－1，…，sin ，…； (6)9,9,9,9,9,9. 解　(1)(6)是有穷数列；(2)(3)(4)(5)是无穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列；(5)是周期数列． 变式练习2 判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）数列和数列是同一个数列．( ) （2）数列中的每一项都与它的序号有关．( ) （3）与是不同的概念．( ) （4）有些数列没有通项公式．( ) 【答案】 错误 正确 正确 正确 【分析】利用数列的概念进行判断正确错误. 【详解】对于（1），按照一定次序排列起来的一列数称为数列，故（1）错误； 对于（2），根据数列的概念，故（2）正确; 对于（3），表示的第项，故（3）正确； 对于（4），例如的不同近似值，根据精确度，可形成一个数列，则它没有通项公式，故（4）正确. 故答案为：①错误；②正确；③正确；④正确. 变式练习3 下列说法中正确的是（    ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列0，2，4，6，可记为 【答案】C 【分析】对A，考虑常数数列；