微专题4-1 相似三角形模型（“A”字模型、“8”字模型）-【高效导学】2023-2024学年九年级数学上册同步题型讲与练（北师大版）

微专题4-1——相似三角形模型1 导图先学 边讲边练 “A”字和“8”字模型 基本模型 图形 重要结论 “A”字型 “8”字型 题型1：“A”字模型 【例】（2023春•建阳区期中）如图，为测量池塘边、两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得、的中点分别是点、，且，则、间的距离是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022秋•滨江区期末）如图，在中，点，分别在，上，，，且，，则的长为　　 A． B．4 C．5 D． 【变式2】（2023•虹口区二模）如图，在中，点、分别在边、上，，，如果，，那么的值是 　　． 题型2：“8”字模型 【例】（2023•雅安）如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为　　 A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1】（2023•路桥区二模）如图，在平行四边形中，为上一点，且，与相交于点，，则为　　 A．9 B．12 C．27 D．36 【变式2】（2023秋•惠济区校级月考）如图，在菱形中，与交于点，分别交于点，的延长线于点，且．则的值为　　 A． B． C． D． “A”字和“8”字模型的构造 “A”字和“8”字模型的构造常常作平行线，常见的作平行线的方法： 模型：构造“A”字模型 【例】（2023秋•肥西县期末）如图，是斜边上的高，是中点，连接并延长交于点，已知，求　 　．（用含的代数式表示） 【变式1】如图，中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于P．若，求证：． 模型：构造“8”字模型 【例】（2023秋•亳州期末）如图，在中，、是边的三等分点，是边的中线，、分别与交于点、，若，则的面积为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•鲤城区校级期中）如图，中，．点为线段的中点，，交于点，若，则　　． 随堂练习 1. （2023•道外区三模）如图，在平行四边形中，是上一点，连接并延长交的延长线点，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 2. （2023秋•洛阳期末）如图，是可折叠的简易凳子侧面示意图，与相交于点，，根据图中的数据可得凳子高度是 　 　米． 3. （2023•宜兴市一模）如图，在矩形中，，，点为边延长线一点，且．连接交边于点，过点作于点，则　　． 4. （2023秋•澧县期中）如图，在中，、、分别是、上的点，且，． （1）当，时，求的长； （2）求证：． 5. （2022秋•凤阳县期末）如图，为的边延长线上的一点，连结交于点，交点． （1）求证：； （2）求证：． 6. （2023秋•长沙期末）如图，在中，点在上，，和相交于点，过点作，交于点． （1）求的值． （2）若， ①求证：． ②求证：． 7. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，，直线过点，分别过、两点作，，垂足分别为、．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，，是上一点，过作的垂线交于点．若，，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在平行四边形中，在上取点，使得，若，，，求平行四边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� $$ 微专题4-1——相似三角形模型1 导图先学 边讲边练 “A”字和“8”字模型 基本模型 图形 重要结论 “A”字型 “8”字型 题型1：“A”字模型 【例】（2023春•建阳区期中）如图，为测量池塘边、两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得、的中点分别是点、，且，则、间的距离是　　 A． B． C． D． 【分析】根据、分别是、的中点，可得出是的中位线，得出，即可求解． 【解答】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， 故选：． 【变式1】（2022秋•滨江区期末）如图，在中，点，分别在，上，，，且，，则的长为　　 A． B．4 C．5 D． 【分析】根据，可得，从而得到，可证明，即可求解． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：， ． 故选：． 【变式2】（2023•虹口区二