微专题4-3 相似三角形模型（手拉手模型、一线三等角模型）-【高效导学】2023-2024学年九年级数学上册同步题型讲与练（北师大版）

微专题4-3——相似三角形模型 导图先学 边讲边练 三垂直模型与一线三等角模型； 【例】如图，在边长为9的正三角形中，，，则的长为 　　． 【变式1】如图，梯形中，，，点在边上，，，．若，则的长为　 　． 【变式2】如图，等边中，点、分别在边、上， （1）求证：； （2）若，，求等边的边长． 【变式3】如图，四边形为矩形，，，点为边上一点（点不与点、重合），连接，过点作，与边交于点． （1）当点为边的中点时，求线段的长； （2）直接写出：当最小时的面积为　　． 手拉手相似模型； 【例】（2022秋•路北区校级期末）如图，，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时． （1）当时，则　　； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 　　． 【变式1】如图，在和中，，，点在边上，与相交于点，，则　 　． 【变式2】如图，点是等边内部一点，以为边，在的左边作等边，为的中点，连接，若，，则的长为　 　． 【变式3】在中，，为内一点，且．若，，则　 　． 随堂练习 1. 如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且， 下列结论：①，②，③，④． 正确的结论有：　 　．（注填序号） 2. 我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”． 概念理解：在“矩形、菱形和正方形”这三种特殊四边形中，不一定是“等邻角四边形”的是　菱形　． 问题探究：如图，在等邻角四边形中，，，，为线段上一动点（不包含端点，，为直线上一动点，连接，，在，的运动过程中始终满足，当达到最大时，试求此时的长． 应用拓展：在以为等角的等邻角四边形中，，若，，试求等邻角四边形的周长． 3. 如图，正方形中，点在边上，且，若，，求正方形的边长． 4. 如图，和均为等腰直角三角形，在内，，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． 5. （1）（问题发现）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上．填空： ①线段，之间的数量关系为 　　； ②　　． （2）（类比探究）如图2，和均为等腰直角三角形，，，，点，，在同一条直线上，请判断线段，之间的数量关系及的度数，并给出证明． （3）（解决问题）如图3，在中，，，，点在边上，于点，，将绕点旋转，当所在直线经过点时，的长是多少？（直接写出答案） 6. （2022春•朝阳区校级月考）在中，． （1）如图1，若，点在内，且，，，把绕着点顺时针旋转，使点旋转到点，得到，连接，补完全图，直接写出的长． （2）如图2，若，点在外，且，，，求的度数； （3）如图3，若，点在内，且，，，直接写出的长． 7. （2023•武汉模拟）【问题背景】（1）如图1，点，，在同一直线上，，求证：； 【问题探究】（2）在（1）条件下，若点为的中点，求证：； 【拓展运用】（3）如图2，在中，，点是的内心、若，，则的长为 　 　． 8. （2023•亳州三模）如图1，在和中，，． （1）①求证：； ②若，试判断的形状，并说明理由； （2）如图2，旋转，使点落在边上，若，．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题4-3——相似三角形模型 导图先学 边讲边练 三垂直模型与一线三等角模型； 【例】如图，在边长为9的正三角形中，，，则的长为 　　． 【分析】先根据边长为9，，求出的长度，然后根据和等边三角形的性质，证明，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得的长度，即可求出的长度． 【解答】解：是等边三角形， ，； ； ， ， 又， ， 则， 即， 解得：， 故． 故答案为：7． 【变式1】如图，梯形中，，，点在边上，，，．若，则的长为　 　． 【分析】先设，根据相似三角形的判定定理得出，由相似三角形的对应边成比例即可得出的值，即是的长． 【解答】解：设，则， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得或， 或6． 故答案为：1或6． 【变式2】如图，等边中，点、分别在边、上， （1）求证：； （2）若，，求等边的边长． 【分析】（1）由等边三角形的性质及“一线三等角”推出有两个角相等，从而证得结论； （2）设等边的边长为，由，得比例式，求出值即可． 【解答】解：（1）证明：是等边三角形， ， 又， ，， ， ； （2）设等边的边长为， ，， ，， ， ， ， 解得：， 等边的边长为6． 【变式3】如图，四边形为矩形，，，点为边上一点（点不与点、重合），连接，过点作，与边交于点． （1）当点为边的中点时，求线段的长； （2）直接写出：当最小时的面积为　　． 【分析】（1）由矩形的性质及“一线三等角“推得，利用有两个角相等的三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可得比例式，将相关数据代入即可求得的值； （2）设，，根据，得出关于的二次函数，将其写成顶