微专题4-2 相似三角形模型（射影模型、与矩形相关的相似）-【高效导学】2023-2024学年九年级数学上册同步题型讲与练（北师大版）

微专题4-2——相似三角形模型 导图先学 边讲边练 与内接矩形的有关的相似问题 如图，已知四边形DEFG是的内接矩形，E、F在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则有：，． 特别地，当时，有． 【例】（2022秋•南关区校级期末）如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，已知的边长15厘米，高为10厘米，则正方形的边长是　　 A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米 【变式1】（2023秋•东河区期末）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道、之间的距离为9米，表示这块空地，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上． （1）如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长； （2）矩形花坛的面积能否占空地面积的？请作出判断并说明理由． 【变式2】课本中有一道作业题： 有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．问加工成的正方形零件的边长是多少？ 小颖解得此题的答案为，小颖善于反思，她又提出了如下的问题． （1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算． （2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 【变式3】如图，是一块铁皮余料．已知底边，高．在铁皮余料上截取一个矩形，使点在上，点在上，点、在上，交于点． （1）设 ， ，试确定用表示的函数表达式． （2）当为何值时，矩形的面积 最大？ 射影定理 在中，，于D． 射影定理：（1）； （2）； （3）． 注意：（1）射影定理可以直接用，是用来证明的． （2）射影图形中，另外有下面的关系． ①角的相等关系：，． ②同一三角形中三边的平方关系： 、、． 【例】（2022秋•义乌市月考）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为　　． A． B． C．6 D． 【变式1】（2022•义乌市校级开学）如图，在中，，，若，，则的长为　　 A． B．4 C． D． 【变式2】如图，在中，，，垂足为，，，则的长为　　 A． B． C． D．2 【变式3】如图，中，，于点，下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 随堂练习 1. （2022春•周村区期末）如图，在中，，于，，，则的长为 　　． 2. 如图所示，在矩形中，于点，对角线，交于，且，，则　　． 3. 如图，在中，，点在上，且． （1）求证； （2）若，，求的长． 4. 九年级上册的教材第118页有这样一道习题： “在一块三角形余料中，它的边，高线．要把它加工成正方形零件（如图），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．问加工成的正方形零件的边长为多少？” （1）请你解答上题； （2）若将上题图中的正方形改为矩形，其余条件不变，求矩形的面积的最大值； （3）我们把上面习题中的正方形叫做“边上的的内接正方形”，若在习题的条件下，又知，，请分别写出边上的的内接正方形的边长和边上的的内接正方形的边长（不必写出过程，只要直接写出答案即可，结果精确到； （4）结合第（1）、（3）题，若三角形的三边长分别为，，，各边上的高分别为，，，要使边上的三角形内接正方形的面积最大，请写出与必须满足的条件（不必写出过程）． 5. 如图，有一块直角三角形土地，它两条直角边米，米，某单位要沿着斜边修一座底面是矩形的大楼，、分别在边、上，设为，矩形面积为． （1）求中上的高； （2）求与之间的函数关系； （3）当矩形的长取何值时，这个矩形的面积最大？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题4-2——相似三角形模型 导图先学 边讲边练 与内接矩形的有关的相似问题 如图，已知四边形DEFG是的内接矩形，E、F在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则有：，． 特别地，当时，有． 【例】（2022秋•南关区校级期末）如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，已知的边长15厘米，高为10厘米，则正方形的边长是　　 A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米 【分析】由得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解． 【解答】解：设正方形的边长为厘米． 由正方形得，，即， ， ． 由得 ． ， ，， 即， 由厘米，厘米，， 得， 解得． 故正方形的边长是6厘米． 故选：． 【变式1】（2023秋•东河区期末）某社区