广东省深圳外国语学校（龙华）2024届高三数学寒假作业八

寒假作业（八） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为（ ） A B. C. D. 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 32 6. 某工厂生产过程中产生的废水含有毒物质，需循环过滤后排放，过滤过程中有毒物质的含量与时间之间的关系为，若循环过滤2h后消除了10％的有毒物质，则6h后有毒物质的含量占原有有毒物质的百分比约为（ ） A 70％ B. 71％ C. 73％ D. 76％ 7. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且双曲线C与椭圆E在第一象限的交点为P，若的面积为，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的函数满足，，且，若，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 二、多选题 9. 已知数列是公比为q的等比数列，数列是公差为d的等差数列，且，，则下列选项正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，E，M是棱上的点，M为的中点，F是棱上的点，若平面，则下列选项正确的有（ ） A. 平面平面 B. E为的中点 C. D. 平面 11. 已知，函数，下列选项正确有（ ） A. 当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 B. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则实数的最小值为 C. 若在区间上单调递增，则的取值范围是 D. 若在区间上只有一个零点，则的取值范围是 12. 已知椭圆的离心率为，，为椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C的上顶点，过的直线l交椭圆C于A，B两点，则下列选项正确的有（ ） A. 为等边三角形 B. 直线的斜率之积为 C. D. 当直线l与垂直时，若的周长为16，则 三、填空题 13. 已知，则__________． 14. 已知向量，的夹角为，，，则__________． 15. 过圆内一点作相互垂直的两条弦和，若，则__________． 16. 已知函数在R上无零点，则实数a的取值范围是__________． 四、解答题，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17. 某公司男女职工人数相等，该公司为了解职工是否接受去外地长时间出差，进行了如下调查：在男女职工中各随机抽取了100人，经调查，男职工和女职工接受去外地长时间出差人数分别为40和20． （1）根据所给数据，完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否接受去外地长时间出差与性别有关联？ 单位：人 性别 接受 不接受 合计 男 女 合计 （2）若将频率视为概率，用样本估计总体，从该公司中随机抽取5人，记其中接受去外地长时间出差的人数为X，求X的数学期望， 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）若，，求的面积； （2）已知为边的中线，且，求的最大值． 20. 已知数列满足，. （1）若，证明：数列为等比数列； （2）求数列的前2n项和． 21. 已知定点，点D是直线上一动点，过点D作l的垂线，与线段的中垂线交于点M，动点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）不过点的直线与曲线C交于A，B两点，以为直径的圆经过点P，证明：直线过定点． 22. 已知函数． （1）若函数在处的切线经过点，求a的值； （2）若恒成立，求a的取值范围． 答案 1. 【答案】B【详解】由，得，所以集合； 由，得，所以集合，所以． 2.【答案】A【详解】，故． 3.【答案】D【详解】在这8个数中任取3个数共有种取法， 能组成勾股定理关系的有，，，共3组，由古典概型，可知这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为． 4. 【答案】C【详解】由题意，得上底面面积