第2章 导数及其应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§2　导数的概念及其几何意义 2．1　导数的概念 学习目标　1.理解导数的概念．　2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．　3.理解导数的实际意义． 知识点一　导数的概念 1．如图，摩托车在比赛过程中的运动方程为s(t)＝3t2＋8，其中s表示位移，t表示时间，如果教练员知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好的指导运动员比赛，你能求出摩托车在前3 s内的平均速度和在3 s时的瞬时速度吗？ 提示：9 m/s；18 m/s. 2．对于函数s(t)＝3t2＋8，当t从t0变到t0＋Δt时，s(t)＝3t2＋8关于t的平均变化率是多少？当Δt趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？ 提示：＝＝6t0＋3Δt；当Δt趋于0时，平均变化率趋于一个常数6t0. 导数的定义 1．定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝．当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数． 2．记法：函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝ ＝ . [微提醒]　(1)函数应在x0的附近有定义，否则导数不存在． (2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关． (3)导数的实质是一个极限值． 设f(x)在x＝x0处可导，则 ＝(　　) A．－f′(x0) B．2f′ C．f′(x0) D．2f′(x0) A　[因为f(x)在x＝x0处可导，所以由导数的定义可得 ＝ ＝－f′(x0).故选A.] 利用导数定义解题时，要充分体会导数定义的实质，虽然表达式不同，但表达的实质可能相同．　　 即时练1.(2023·浙江宁波期中)已知函数f(x)可导，且满足 ＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 A　[因为 ＝－2 ＝－2f′(3)＝2， 所以f′(3)＝－1，故选A.] 知识点二　函数在某点处的导数及意义 一质点的运动位移s(单位：m)是关于时间t(单位：s)的函数：s＝s(t)＝－2t＋3.根据导数的定义你能求出s′(1)，并解释它的实际意义吗？ 提示：＝＝＝－2 m/s.当Δt趋于0时，趋于－2，则s′(1)＝－2 m/s，导数s′(1)＝－2 m/s表示该质点在t＝1时的瞬时速度． 对于函数f(x)，f′(x0)的意义就是函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率． 求函数y＝f(x)＝在x＝2处的导数． 解析：因为y＝f(x)＝， 所以Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－1＝， 所以＝， 所以 ＝ ＝－1， 所以f′(2)＝－1. 由导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法 1．求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0). 2．求平均变化率＝. 3．取极限，得导数f′(x0)＝ .　　 即时练2.已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　 ) A．－4 B．2 C．－2 D．±2 D　[因为＝＝＝－， 所以f′(m)＝－＝－， 所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2.故选D.] 即时练3.已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________． 解析：f′(1)＝ ＝ ＝ ＝. 答案： 导数在实际问题中的意义 将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15.求函数f(x)＝x2－7x＋15在x＝2和x＝6时的导数，并说明它们的意义． 解析：f′(2)＝ ＝ ＝ ＝ (－3＋Δx)＝－3，f′(6)＝ ＝ ＝ ＝ (5＋Δx)＝5， f′(2)表示当x＝2 h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降． f′(6)表示当x＝6 h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升． 首先要理解导数与平均变化率的概念，才能根据实际问题体会到导数的实际意义．　　 即时练4.有一边长为10 cm的正方形铁板(此时铁板温度为0 ℃)，加热后铁板会膨胀，已知铁板温度为t ℃(t>0)时，其边长膨胀为10cm，其中a为常数，求铁板面积对温度t的瞬时膨胀率． 解析：设温度的增量为Δt，则铁板面积的增量为ΔS＝100[1＋a(t＋Δt)]2－100(1＋at)2 ＝200Δt＋100a2(Δt)2， 则＝ ＝200＋100a2Δt. 当Δt→0时，S′(t)＝ ＝200a(1＋at). 故铁板面积对温度t的瞬