命题点7 直角三角形的性质与判定（必考）-【一战成名新中考】2024河北中考数学·基础夯实练优质课件PPT

第四章 三角形 命题点7 直角三角形的性质与判定（必考） 河北数学 数学 1 2022版课标要求 1.理解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形; 2. 探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题. 2 要点归纳 1. 直角三角形的性质与判定 概念 有一个角是 的三角形叫作直角三角形 性质 （1）直角三角形两锐角之和等于①_ ____,如图, ②_ ____; （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的③ ______,如图, 是斜边上的中线, ④_ _ ; （3）勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为 , ,斜边长为 ,那么⑤_ ____________ 一半 3 判定 （1）有一个角是 的三角形是直角三角形（定 义）; （2）有两个角⑥______的三角形是直角三角形; （3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 , , 满足 ,那么这个三角形是直角三 角形; （4）某边上的中线等于该边的一半的三角形是直角 三角形（需证明） 互余 续表 4 面积计 算公式 ,其中 , 为两直角边长, 为斜 边长, 为斜边上的高 续表 5 2.等腰直角三角形的性质与判定 性质 （1）两条直角边⑦______; （2）两个锐角⑧______,均为⑨____ ; （3）斜边上的高把它分成两个小的等腰直角三角形; （4）一条直角边长与斜边长的比为⑩______ 相等 相等 45 1 6 判定 （1）有一个角是 的等腰三角形是等腰直角三角 形; （2）有两个角均为_ ______的三角形是等腰直角三角 形; （3）一个直角三角形的三条边长的比是⑫ _ _______,这个三角形是等腰直角三角形 ⑪ 续表 7 3. 含 角的直角三角形 （1）性质 图形 性质 （1）两个锐角的度数分别为 ,⑬_ ____; 角所对的直角边等于斜边的⑭______;（反过 来,若在一个直角三角形中,一个锐角所对的直角边等于 斜边的一半,那么这个锐角的度数为⑮_ ____） （3）斜边中线将其分为一个⑯______三角形和一个底角 为 的等腰三角形.如图, 为斜边上的中线, 是⑰____________; （4）三条边长的比（从小到大）为⑱________ 一半 等边 等边三角形 8 （2）5种特殊的三角形辅助线作法 简记：有特殊角 , , ,作垂线,构造直角三角形. 9 4.勾股定理及其探索过程 （1）赵爽弦图（图1） 大正方形的边长为 , 大正方形的面积为 ,又 , . 10 （2）毕达哥拉斯拼图（图2） 由左图得 ,由右图得 , . 11 （3）伽菲尔德总统拼图（图3） 设梯形的面积为 ,则 ,又 , . 12 （4）勾股定理的拓展应用 ①如图4、5、6,以 的三条边为边向外分别作正方形、等边三角 形、半圆,则 、 、 之间的数量关系满足⑲_ ____________; 图4 图5 图6 13 ②如图7,以 的三条边为边向外分别作扇形,且满足 ,则 、 、 之间的数量关系满足⑳_ ____________. 图7 14 5.直角三角形的分类讨论 （1）已知直角三角形两边长求第三边时,若没有确定直角边和斜边,需要分类讨论 例1题图 例1 直角三角形的两边长是3和4,则第三边长是㉑ _ _______. 或5 【思维点拨】直角三角形中斜边为最长边,无法确定边长为4的边是否为斜边,所以要讨论①边长为4的边为斜边;②边长为4的边为直角边. 15 （2）已知三角形为直角三角形,若没有确定直角顶点,需要分类讨论 例2题图 例2 已知 , 是线段 上的两点, , , ,以 为中心顺时 针旋转点 ,以 为中心逆时针旋转点 ,使 , 两点重合成一点 ,构成 ,设 ,若 为直角三角形,则 的值为㉒_ _____. 或 16 【思维点拨】 是直角三角形,并没有说明哪条边是斜边,应该分 情况讨论： ①若 为斜边,则 ; ②若 为斜边,则 ; ③若 为斜边,则 ,即 ,方程没有 实数根. 17 随堂练习 在 中, . 图① （1）如图①,点 在 上, ①若 ,则 的度数为_ ____; ②若 , ,则 ___; 5 18 【拓展设问1】 若 是斜边上的中线,则 _ _;