第04讲 方法篇 三角形中线，角平分线问题-【练透核心考点】2023-2024学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

第04讲 方法篇 三角形中线，角平分线问题 题型一：三角形中线 方法一:中线向量化 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， 中线向量化（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： 典型例题 例题1．（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边，该公式具有轮换对称的特点.已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（    ） A． B．4 C． D． 例题2．（2023上·江苏南京·高三期末）锐角三角形中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，为的中点，求中线长的最大值. 例题3．（2023·四川成都·校联考一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角B； (2)若边上的中线长为2，求面积的最大值. 精练核心考点 1．（2023上·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习）如图，在边长为2的等边三角形中，点为中线的三等分点靠近点，点为的中点，则 （   ）    A． B． C． D． 2．（2023上·浙江湖州·高二湖州中学校考阶段练习）已知斜内角的对边分别为，函数，且. (1)求的值； (2)若边上的中线长为，求的最大值. 方法二：邻角互补法 邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 典型例题 例题1．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，BC边上的中线，求的面积． 例题2．（2023上·江苏扬州·高三统考期中）在中，，且边上的中线长为1. (1)若，求的面积； (2)若，求的长. 例题3．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M在边AB上，，，且，______． 在①CM为的一条中线；②CM为的一条角平分线；③CM为的一条高线 这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答． (1)求边长AB； (2)若外接圆的面积为，内切圆的面积为，求的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 精练核心考点 1．（2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则的余弦值是 ．    2．（2023上·山西晋中·高三校考阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，满足 (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积. 题型二：角平分线 方法一：等面积法 核心技巧 典型例题 例题1．（2023上·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值. 例题2．（2023上·江西赣州·高二校联考期中）已知的内角A，B，的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若为的角平分线，D在边上，且，求的最小值. 例题3．（2023下·江苏连云港·高一校考阶段练习）的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在上， (1)若，，求c； (2)若是的角平分线，，求周长的最小值． 精练核心考点 1．（2024·广东惠州·统考模拟预测）在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角； (2)若是的角平分线，且，，求的面积 2．（2024上·安徽·高三校联考阶段练习）已知内角所对的边分别为，B. (1)求角的大小； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 3．（2023上·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考期末）在中，内角的对边分别为，且 (1)求角C的大小； (2)是的角平分线，若，求的面积. 方法二邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 典型例题 例题1．（2023上·辽宁·高二校联考阶段练习）在中， ，，， 的角平分线交于，则 ．      精练核心考点 1．（2023下·全国·高一专题练习）在中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 . 方法三：内角平分线定理 内角平分线定理： 核心技巧：或 典型例题 例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，是的角平分线，则等于（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023下·广东深圳·高一校考期中）已知中，，，，是的角平分线，则 ． 例题3．（2023下·山东枣庄·高一统考期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若BD是的角平分线. （i）证明：； （ii）若，求的最大值. 精练核心考点 1．（2022上·江苏泰州·高三统考期中）在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解