2024年中考数学复习：二次函数与相似三角形问题

2024年九年级数学中考复习： 二次函数与相似三角形问题 1．如图，抛物线：的图像与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标：若不存在，试说明理由． 2．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标； (3)为抛物线上一点，连接，过点作交抛物线对称轴于点，当时，请直接写出点的坐标． 3．如图，抛物线经过坐标原点，且顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线与轴正半轴的交点为，点位于抛物线上且在轴下方，连接、，若，求点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限抛物线上一动点，连接，的延长线与轴交于点，过点作轴于点，以为轴，翻折直线，与抛物线相交于另一点．设点横坐标为，点横坐标为，求出与的函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，连接，点在上，且，连接，若，求点坐标． 5．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，，求点的坐标； (3)如图3，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，记为，点在抛物线上，过点作分别交抛物线于两点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 6．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积最大时，求点的坐标； (3)如图2，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与轴交于点，连接．若在第四象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交直线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)试探究抛物线上是否存在点，使有最大值？若存在，求出点的坐标和的最大值；若不存在，请说明理由； (3)连接 ，试探究是否存在点，使得以，，为顶点的三角形和相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线经过点，且交轴于点，点是轴正半轴上的动点，交抛物线于点，轴交线段的延长线于点，作直线，交轴于点，交轴于点 (1)求抛物线的解析式． (2)当为何值时，点恰好与点重合 (3)当时，请直接写出线段的值． 9．如图，二次函数图像交轴于点，（在的左侧），与轴交于点，轴，交抛物线于另一点，且，为抛物线上一点，轴，与轴交于，与，分别交于点，． (1)求二次函数解析式； (2)当在上方时，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出与的相似比，若不存在，说明理由． (3)点关于直线的对称点为，当点落在抛物线的对称轴上时，此时点的坐标为________． 10．已知抛物线的图像经过点，点，且与y轴交于点C． (1)求出点B的坐标； (2)若点P为x轴上方的抛物线上任意一点． ①如图1，若点Q为线段上一点，连接，交x轴于点M，连接，当时，求点M的坐标； ②如图2，连接，若满足，求此时点P的坐标． 11．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C，连接、．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作交于点Q，当线段的长度取得最大值时，求点P的坐标和长度的最大值； (3)把抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点M是新抛物线上一点，点N是新抛物线对称轴上一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求其中一个N点坐标的过程写出来． 12．如图，抛物线过点，，D为抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求的正切值； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上且在CE上方的一点，是否存在点M使和相似？若存在，求点M坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为，对称轴与x轴交于点P．    (1)抛物线的解析式为__________； (2)点M为y轴正半轴上的一个动点，连接，过点M作的垂线，与抛物线的对称轴交于点N，连接AN． ①若与相似，求点M的坐标； ②若点M在y轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时这一边与线段具有对称性，我们把这样的点M称为“对称点”，请写出“对称点”M的坐标． 14．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为，且与直线交于两点． (1)求