17.4一元二次方程根与系数的关系 课件 2023—2024学年沪科版数学八年级下册

17.4 一元二次程 与系数的关系 八年级下 沪科版 1. 理解一元二次方程根与系数的关系； 2. 了解一元二次方程根与系数的关系的简单应用. 学习目标 重点 难点 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.他是第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）. 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”. 韦达（1540－1603） 新课引入 探究 在前面17.2节中，我们学过，一元二次方程的每一个根都可由它的各项系数通过运算得到. 进一步，你是否注意到每个方程中的两根之间的关系？两根之和 （x1 + x2）、两根之积（x1x2）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？填写下表，然后观察根与系数的关系： 新知学习 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2 + 2x – 15 = 0 3x2 – 4x + 1 = 0 2x2 – 5x + 1 = 0 3 -5 -2 -15 1 根据你的观察，猜想： 方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根如果是x1，x2，那么x1＋x2＝_______, x1x2 ＝_______. 你能证明上面的猜想吗？ 我们知道，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的两根为： 归纳 由此得出,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果 ax2+ bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为 x1，x2， 那么 x1 + x2 = ，x1x2 = . 这个关系通常称为韦达定理 当一元二次方程的二次项系数为 1 时，它的标准形式为 x2 + px + q = 0. 设它的两个根为 x1，x2，这时韦达定理应是： x1 + x2 = –p，x1x2 = q. 注意：前提条件 是b2-4ac≥0哦. 例1 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： (1) x2 + 3x - 5 = 0； (2)2x2 - 3x - 5 = 0. 解： (1) 设两根为 x1、x2，由上述二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1 + x2 = -3，x1·x2 = -5. 解：(2) 方程两边同除以 2，得 设两根为 x1、x2，可得 例 2 已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 的一个根是 –4，求它的另一个根及 k 的值. 解 设方程的另一个根是 x2，则 解方程组，得 答：方程的另一个根为 ，k 的值为 7. 已知一根，利用根与系数的关系求方程中待定字母的值的策略： 已知方程的一根求另一根，可以直接将一根代入方程中求出待定字母的值，然后再解方程求另一根． 也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值． 方法总结： 例 3 方程 2x2 – 3x + 1 = 0 的两个根记作x1，x2，不解方程，求出下列式 子的值： （1）x1 – x2 解 （1）由韦达定理，得 x1 + x2 = ， x1x2 = . （x1 – x2）2 =（x1 + x2）2 – 4x1x2 ∴ x1 – x2 = （2）x12+ x22 解 （2）由韦达定理，得 x1 + x2 = ， x1x2 = . ∴ x12+ x22=（x1 + x2）2 – 2x1x2 =( ) 2-2× = （3） 解 （3）由韦达定理，得 x1 + x2 = ， x1x2 = . ∴ =3 与两根和、两根积相关的常用变形公式 1．关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是_________. m＞ 2.已知一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0，b2 - 4ac≥0 ) 的两个根是 m，n ，那么下列关系式中正确的是 . (1) am2 + bm + c = 0；(2) an2 + bn + c = 0；(3) m + n = - ； (4) an2 + bm + c = 0；(5) am2 + bn＋c＝0；(6) mn = . (1)(2)(3)(6) 随堂练习 x1x2=-(－2m＋1)=2m-1<0 有两个相等的实根或有两个不相等的实根 8 3.如图是小明班级的长方形黑板，黑板的长与宽是一元二次方程x2