17.2.一元二次方程的解法第2课时配方法 课件 2023—2024学年沪科版数学八年级下册

17.2.一元二次方程的解法第2课时配方法 八年级下 沪科版 1. 理解配方法的概念 2.能用配方法解数字系数的一元二次方程及解决有关问题. 学习目标 重点 重难点 (3) x2 + 2x + 1 = 5 ( x + 1 )2 = 5 x + 1 = x1 = - 1，x2 = - - 1. 你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ x2 = 5，2x2 + 3 = 5， x2 + 2x + 1 = 5， ( x + 6 )2 + 72 = 102. (1) x2 = 5  x = . (2) 2x2 + 3 = 5 2x2 = 2 x2 = 1 x = . (4) ( x + 6 )2 + 72 = 102 ( x + 6 )2 = 51 x1 = - 6 ， x2 = - - 6 新课引入 你还记得完全平方公式吗？ 填一填： (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 完全平方公式可以用来解方程吗？ x2+12x+ =(x+ )2; x2-4x+ =(x- )2; x2+8x+ =(x+ )2. 36 6 4 2 16 4 怎样解一元二次方程x2+2x-1＝0？ 思考 分析：这个方程,显然不能通过直接开平方来解,能否把这个方程转化成直接开平方来解的形式? 能否直接用上节课的直接开平方法来解？ 新知学习 x2+2x＝1 x2+2x+1＝1+1 (x+1)2=2 左边写成完全平方形式 解： x2+2x-1＝0 移项 两边都加上1 二次项系数是1 直接开平方 x+1＝± 解得 配一次项系数一半的平方 像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方公式后，再直接开平方求解的方法，叫做配方法. 归纳 知识链接 配方的依据是完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2， 其实质是将a看成未知数，b看成常数，则b2即是一次项系数一半的平方 . 想一想：x2 + px + ( )2 = (x + )2. 例1 用配方法解下列方程 (1)x2-4x-1=0； 解:(1)移项，得：x2-4x=1 配方，得：x2-4x+___=1+____, 即(x-___)2=___. 开平方得:____________. 22 所以原方程的根是 x1＝_______，x2＝______. 22 2 5 (2)2x2-3x-1＝0 下面的过程请同学们来完成： 配方，得： 即： 开平方，得： 把二次项系数化为1，得： 移项，得： 所以原方程的根是 ● 方法总结 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p. ①当 p>0 时，则 ，方程的两个根为 ②当 p=0 时，则(x+n)2=0，开平方得方程有两个相等的实数根 x1=x2=-n. ③当 p<0 时，则方程(x+n)2=p无实数根. ● 方法总结 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ① 移常数项； ② 二次项系数化为1； ③ 配方[配上 ]； ④ 写成（x+m)2=n(n≥0); ⑤ 直接开平方法解方程. 请根据上面的例题，请你归纳出配方法解一元二次方程应有的步骤.其中，最关键的是配哪一项，这一项怎样确定？ 交流 思考 代数式2x2 - 4x+5有最值吗？如果有，是最大值还是最小值呢？你是怎么思考的？ 解：先将代数式配方得： 2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3 ∵2(x - 1)2 ≥0， ∴ 2(x - 1)2 +3 ≥3 ∴ 当x =1时，代数式2x2 - 4x+5有最小值，最小值是3. 方法总结 求二次三项式的最值情况，可以先将代数式进行配方，再判断是否有最值. 例2 求证：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零. 解：将代数式配方得：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =(k-2)2＋1. ∵(k-2)2≥0，∴(k-2)2＋1≥1. ∴k2－4k＋5的值必定大于零. 方法总结：求最值或证代数式的值恒正（或负） 将关于 x 的二次多项式通过配方成 a(x + m)2 + n 的形式后，由于 (x + m)2≥0，故当 a＞0 时，可得其最小值为 n；当 a＜0 时，可得其最大值为 n. 1