17.2.一元二次方程的解法第1课时直接开平方法 课件 2023—2024学年沪科版数学八年级下册

17.2一元二次方程的解法第1课时 直接开平方法 八年级下 沪科版 1. 会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. 2. 运用开平方法解某些一元二次方程. 学习目标 重点 重点 新课引入 1. 如果 x2 = a，那么 x 叫做 a 的 . 平方根 2. 如果 x2 = a (a≥0)，那么 x = . 3. 如果 x2 = 64，那么 x = . ±8 4. 任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数. 新知学习 以前我们实际上已解过一些特殊的一元二次方程，解下列方程， 并与同伴交流，说明你所用的方法. (1) x2 = 4； (2) x2 = 0； (3) x2 + 1 = 0. 解：根据平方根的意义，得 x1 = 2，x2 = -2. 解：移项，得 x2 = -1． ∵ 负数没有平方根，∴ 原方程无解. 解：根据平方根的意义，得 x1 = x2 = 0. 思考与交流 像上边这样，用平方根的定义解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 知识链接 平方根的定义：若 x2=a(a ≥ 0)，则x是a的平方根，即x=± . 思考 利用平方根的定义，能解下面的方程吗？ (1) x2=0 (2) x2+1=0 解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得 x2=-1, ∵负数没有平方根， ∴原方程无解. 归纳 (2)当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1=x2 = 0; (3)当 p<0 时，因为任何实数 x，都有 x2≥0，所以方程无实数根. 一般的，对于可化为方程 x2 = p ，可以直接开平方法 (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 注：只含有一个未知数方程的解也叫方程的根. 方程 x2=p 的解(根)的情况 例1 直接开方解下列方程： 9x2 － 81=0； 解：移项，得 9x2=81. 系数化为 1，得 x2=9. 开平方，得 x=±3. ∴ x1=3， x2=－3. 解析：通过移项把方程化为 x2 = p 的形式，然后直接开平方即可求解． 方法总结：直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： ●不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； ●只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提是x2=p中p ≥ 0. 例2 对于方程x2＝m－1. (1)若方程有两个不相等的实数根，则m________； (2)若方程有两个相等的实数根，则m________； (3)若方程无实数根，则m________． ＞1 ＝1 ＜1 解析：（1）若方程有两个不相等的实数根，则m－1＞0，即m＞1； （2）若方程有两个相等的实数根，则m－1=0，即m=1； （3）若方程无实数根，则m－1＜0，即m＜1. 你认为应怎样解方程（x+3）2 = 5 ① ？ 一元二次方程 一元一次方程 转化 由方程（x+3）2 = 5，可得 或 ② 思考 方法总结：上面的解法中 ，由方程①得到②，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了. 例3 用直接开平方法解下列方程： ( 2x － 1 ) 2= ( 3 － x ) 2 开平方，得2x-1=±(3-x). 2x-1=3-x或2x-1=-3+x. ∴x1= , x2=-2. 解题技巧 形如(x＋n)2＝p(p≥0)型方程的解法 当 n > 0 时，方程（x + m）2 = n 的两根为x1= – m, x2 = – – m. 当 n = 0 时，方程（x + m）2 = n 的两根为x1 = x2 = –m. 当 n < 0 时，方程（x + m）2 = n 无实数根. 请根据上面的例题，请你归纳出直接开方法解一元二次方程应有的步骤. 交流 ● 方法总结 用直接开方法解一元二次方程的一般步骤： 步骤 1： 移项，将方程变成左边是完全平方的形式，且系数为 1，右边是非负数的形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根) . 步骤 2： 开平方，将方程转化为两个一元一次方程 . 步骤 3： 解这两个一元一次方程，则得出的两个解即为一元二次方程的两个根 . 1.解下列方程： （1）(x＋1)2= 2 ； 解析：第（1）题中只要将(x＋1)看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解. 即x1=-1+ ，x2=-1- 解：（1）∵x + 1是 2 的平方根， ∴x+1= 随堂练习 （2