5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (第一课时) 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5 三角恒等变换 第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 （1）两角差的余弦公式 一 二 三 学习目标 体会推导两角差的余弦公式过程 掌握两角差的余弦公式 能利用两角差的余弦公式解决相关的问题 学习目标 在研究三角函数时，我们还常常遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α+β、 α–β或 2α的三角函数值？下面我们先引出平面内两点间的距离公式，并从两角差的余弦公式研究起. 在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), |P1Q|=|x1–x2|，|QP2|=|y1–y2|， 由勾股定理，可得 |P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2 =(x1–x2)2+(y1–y2)2, 所以平面内P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点间距离公式： x y O P1(x1, y1) P2(x2, y2) Q(x2, y1) ∟ . . 复习旧知 3 新课导入 问题1 如何用任意角α,β的正弦、余弦值来表示cos(α-β)呢？ 猜想: cos(α-β)=cosα-cosβ成立吗? cos(α－β)≠cos α－cos β 新知探究 下面，我们来探究cos(α-β)与角α，β的正弦、余弦之间的关系. 不妨令α≠2kπ+β, k∈Z. x y O α终边 A(1,0) A1 P1 P β终边 α-β α-β 如图，设单位圆于x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α, β , α-β ，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cosα, sinα)， A1(cosβ, sinβ)，P(cos(α-β), sin(α-β)). 连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合.根据圆的旋转对称性可知 ， 与 重合，从而 ，所以AP= A1P1. 根据两点间的距离公式，得 化简得 当α=2kπ+β, k∈Z时，容易证明上式仍然成立. 所以，对于任意角α，β有， 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . |AP|= |A1P1| A(1,0)，P(cos(α-β), sin(α-β))，P1(cosα, sinα)， A1(cosβ, sinβ) cos β cos(α ＝cos α + –β) sin α sin β (C(α–β)) 新知探究 由以上研究可得 6 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α-β). 所以，对任意角α，β有 (3)公式两边符号相反. (1)公式中的α，β是任意角; (2)公式的结构特点：左边是“两角差的余弦值”， 右边是“这两角余弦积与正弦积的和”； 公式特征 概念生成 观察 公式有何特征？如何记忆？ 谐音记忆为: 烤烤晒晒符号反 7 典例解析 例1 利用公式C(α–β)证明： 证明： 巩固练习 【练习】 利用两角差的余弦公式求： 分析 把15°表示成哪两个角的差？ 解法1： 解法2： 【变式1】求 的值。 【变式2】 【变式3】 公式不光可以正用也可以逆用！ B 典例解析 例2 已知 ，β是第三象限角，求 的值. 分析 由Cα-β和本题的条件，要计算cos(α-β),还应求什么？ 解： 反思 如果去掉条件 ，对结果和求解过程会有什么影响？ 要求正确使用分类讨论的思想方法，在表述上也有了更高的要求 巩固练习 课本P217 巩固练习 课本P217 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 两角差的余弦公式： 公式要诀：“烤烤晒晒符号反” $$