6.4.3.1 余弦定理 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.4.3.1 余弦定理 学习任务 01 掌握余弦定理及其推论（重点） 02 掌握余弦定理的综合应用（难点） 03 能应用余弦定理判断三角形的形状（易混点） 01 探索新知 探索新知 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？ 探究：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a ， b ， c，怎样用a ， b和C表示c？ b c a 探索新知 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a ， b ， c，怎样用a ， b和C表示c？ 探究 ？ b c a 设 那么 所以 ①把几何元素用向量表示： ②进行恰当的向量运算： ③向量式化成几何式： 同理可得 探索新知 定义 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即 思考：还有其他方法证明余弦定理吗？ 探索新知 利用几何法证明：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a ， b ， c （1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，过顶点C作CD⊥AB于点D，则CD＝bsinA，AD＝bcosA，BD＝AB－AD＝c－bcosA.在Rt △ BCD中，由勾股定理 得BD²＝CD²＋BD²，即a²＝b²sin²A＋（c－bcosA）²＝b²sin²A＋c²＋b²cos²A－2bccosA，所以a²＝b²＋ c² － 2bccosA. 同理可证b² ＝ a²＋ c² －2ac cosB， c² ＝ a² ＋ b² － 2abcos C （2）当△ABC为直角三角形时，同理可证. C A D B 探索新知 利用几何法证明：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a ， b ， c （3）当△ABC为钝角三角形时，如图所示，过顶点C作AB延长线的垂线CD，垂足为D，则CD＝bsinA，BD＝bcosA－c.在Rt △ BCD中，由勾股定理得 BC²＝CD²＋BD²，即a²＝b²sin²A＋（bcosA－c）²， 即a²＝b²＋ c² － 2bccosA. 同理可证b² ＝ a²＋ c² －2ac cosB， c² ＝ a² ＋ b² － 2abcos C 同学们也可以尝试用坐标方法证明 C D B A 探索新知 利用坐标法证明：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a ， b ， c 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 则A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)， ∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A， 即a2＝b2＋c2－2bccos A. 同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 探索新知 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？ 思考 ？ 余弦定理的推论 已知三条边求任意角 （SSS） 已知两边及其夹角求第三边 （SAS、SSA） 探索新知 利用余弦定理判断三角形的形状 (1)若b2＋c2 > a² ，根据余弦定理的推论可知，则角A为锐角． 若a²＋c2 > b2 ， a²＋b2 > c2 ，同理可得角B，C为锐角. 所以当b2＋c2 > a² ， a²＋c2 > b2 ，且a²＋b2 > c2时， △ABC是锐角三角形. 探索新知 利用余弦定理判断三角形的形状 (2)若b2＋c2 ＜ a² ，根据余弦定理的推论可知，则△ABC是钝角三角形且角A是钝角． 同理可得，若a²＋c2 ＜ b2 ，则△ABC是钝角三角形且角B是钝角. 若a²＋b2 ＜ c2 ，则△ABC是钝角三角形且角C是钝角. 探索新知 利用余弦定理判断三角形的形状 (3)若b2＋c2 ＝ a² ，根据余弦定理的推论可知，则△ABC是直角三角形且角A是直角． 同理可得，若a²＋c2 ＝ b2 ，则△ABC是直角三角形且角B是直角. 若a²＋b2 ＝ c2 ，则△ABC是直角三角形且角C是直角. 从这个意义上讲，余弦定理是勾股定理的推广. 探索新知 勾股定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？ 思考 ？ 余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例． 在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2