5.7 三角函数的应用 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.7 三角函数的应用 第五章 三角函数 新课导入 周期现象——自然界中常见的现象 　　现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数就是刻画周期变化的典型函数模型，比如下列现象就可以用正弦型函数模型来研究，这节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用. 问题1:某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y（单位：mm)之间的对应数据如下表所示。试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式。 t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0 新知探究 在物理中的应用 t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0 振子振动的周期为0.6s,即 ，解得 ； 可得 sin φ=-1，因此 . 所以振子位移关于时间的函数解析式为 由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm，因此 A=20； 再由初始状态(t=0)振子的位移为 -20， 振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画. 根据已知数据作出散点图，如图所示. 现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin（ωx+φ ）,x∈[0，＋∞)表示，其中A＞０， ω ＞０． 这个解析式中的常数A，ω，φ分别表示简谐运动中的什么物理量呢？ 做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； 做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； 做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； 周期 频率 振幅 ωx+φ 称为相位； x=0 时的相位 φ 称为初相． 归纳总结 在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”． 可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)表示，其中A>0， ω >0．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关。 巩固练习 练习1：如图所示是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题： （1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？ （2）写出这个简谐运动的解析式． 问题2 图（1）是某次实验测得的交变电流i（单位：A）随时间 t (单位：s)变化的图象．将测得的图象放大，得到图（2）. （1）求电流 i 随时间 t 变化的函数解析式； （2）当 　时，求电流 i. 思考：观察图象，交变电流i随时间t的变化满足怎样的函数模型？ 由交变电流的产生原理可知，电流i随时间t的变化规律可以用 来刻画． i=Asin(ωt+φ) 交变电流的产生 线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的中心轴匀速转动，就产生了交流电。 在物理中的应用 交变电流的产生 频率为50Hz，即 解得 ω=100π； 解：（1） 由交变电流的产生原理可知，电流 i 随时间 t 的变化规律可 由图(2)可知，电流最大值为5 A，因此A=5； 再由初始状态(t=0)的电流约为 4.33 A， 可得 sin φ=0.866，因此φ约为 . 所以电流 i 随时间 t 变化的函数解析式是 用i=Asin(ωt+φ) 来刻画，其中 表示频率，A 表示振幅，φ 表示初相． 电流变化的周期为 (2) 思考 根据图象，你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（t＝0）时的电流吗？由这些值，你能进一步解决问题（1）、（2）吗？ 电流 i 随时间 t 变化的函数解析式是 （2）当 　时，求电流 i. 解： 练