7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 一、知识回扣，引出新知 2.复数的乘法法则: 3.复数的乘法法则: 1.复数的加减法法则: 二、新知导学，课堂探究 【说明】（1）一般来说复数的加法不便表示成三角形式. （2）复数的减法运算是加法运算的逆运算，一般来说 复数的减法不便表示成三角形式. 1.复数乘法运算的三角表示及几何意义 【思考】我们学习了复数三角表示，设 ，你能将结果表示成三角形式吗？ 1.复数乘法运算的三角表示及几何意义 复数乘法的三角表示公式 两个复数相乘: 积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 模相乘 辐角相加 你能用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式吗？ 1.复数乘法运算的三角表示及几何意义 复数乘法的几何意义 1.复数乘法运算的三角表示及几何意义 例题导学·强化理解 【说明】运用复数乘法的三角表示式进行运算的前提是给出的复数必须都是三角形式，然后才能利用“模相乘，辐角相加”的算法进行运算.当不要求把计算结果化为复数的代数形式时，也可以直接用三角形式表示结果. 例题导学·强化理解 2.复数除法运算的三角表示及几何意义 2.复数除法运算的三角表示及几何意义 复数除法的三角表示公式 两个复数相除: 商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商， 商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 你能用文字语言来表述复数除法的三角表示公式吗？ 2.复数除法运算的三角表示及几何意义 可以通过“分数”运算直接推导得出 2.复数除法运算的三角表示及几何意义 复数除法的几何意义 例题导学·强化理解 一、知识回扣·引出新知 三、课堂练习，巩固新知 四、知识升华，提升素养 五、布置作业，检测目标 教材P89练习第1、2、3题；习题7.3第3、4、5题. 【思考】我们学习了复数三角表示，设： ， ，你能将 ， 结果分别表示成三角形式吗？ . 【探究】由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？ 两个复数 ， 相乘时，如图，先分别画出与 ， 对应的向量 , , 然后把 绕点 按逆时针方向旋转角 （如果 ，就要把 绕点 按顺时针方向旋转角 ），再把它的模变为原来的 倍，得到向量 ， 表示的复数就是积 . 【思考】你能解释 和 的几何意义吗？ （1） 可以写为 ，其几何意义是“将 对应 的向量绕点 按逆时针方向旋转 ，得到 对应的向量”； （2） 可以写为 ，其几何意义是“将 对应的向量绕点 按逆时针方向旋转 ，得到1对应的向量”. 【例1】已知 ， ，求 ， 请把结果化为代数形式，并作出几何解释. 解： EMBED Equation.3 . 首先作与 ， 对应的向量 , ，然后把向量 绕点 按逆时针方向旋转 ，再将其长度伸长为原来的2倍， 这样得到一个长度为3，辐角为 的向量 （如图）. 即为积 所对应的向量. 【例2】如图，向量 对应的复数为 ，把 绕点 按逆时针方向 旋转 ，得到 .求向量 对应的复数（用代数形式表示）. 【分析】根据复数乘法的几何意义，向量 对应的复数是 复数 与 的积，其中复数 的模是1，辐角的主值是 . 解：向量 对应的复数为 EMBED Equation.3 . 【探究】复数的除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示， 你能得出复数的除法运算的三角表示吗？你能用文字语言加以表述吗？ 【推导过程】设 ， ， 且 ，因为 ， 所以根据复数除法的定义， 有 . 【探究】你还有其他的推导方法吗？ . 【探究】类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示， 你能得出复数除法的几何意义吗？ 两个复数z1，z2相除，可以先画出z1，z2对应的向量.复数除法实质也是向量的旋转和伸缩．就表示商倍，所得向量按顺时针方向旋转θ2(若θ2<0，则按逆时针方向旋转|θ2|)，再把模变为原来的，将向量， 【例3】计算 ，并把结果化为代数形式. 解：原式 . 计算下列各式： (1)； · (2). ÷ 解：（1）原式＝ ＝. （2）原式＝4＝4i. 【探究】（1）如果复数 对应的向量，绕点 按逆时针 方向旋转角 ，模不变，所得向量对应的新复数是什么？ 【提示】对应的新复数是： . 【探究】（2）若按顺时针方向旋转角 ，模不变，所得向量对应的新复数是什么？ 【提示】对应新复数是： ，即 ； 或 . $$