7.2.2 复数的乘、除运算 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.2.2 复数的乘除运算 一、创设情境 引入新课 问题引入：通过计算， 类比复数是否也可以相乘，结果又如何? 二、概念探究 探究一:设a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？ (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 思考： 复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1·z2 ＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将其展开， z1·z2等于什么？ 1.复数的乘法法则： 说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在 运算过程中把 i²换成-1，然后实、虚部分别合并. 探究二：试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律? 猜想：对任意复数z1、z2、z3∈C ，有 乘法交换律 z1·z2＝_____ 乘法结合律 (z1·z2)·z3＝________ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_________ z1·(z2·z3) z1z2＋z1z3 z2·z1 探究三：若z1，z2是共轭复数，那么 (1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系? (2) z1∙z2是一个怎样的数? 提示： (1)在复平面内，它们所对应的点关于实轴对称. (2)它们的乘积为实数，并且 探究四：共轭复数有哪些主要性质？ 猜 想 类比 , 试写出复数的除法法则. 探究五： 先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数，化简后写成代数形式(分母实数化).即 分母实数化 三、概念形成 1.复数的乘法 (1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1•z2＝ ＝ ． (2)对任意复数z1、z2、z3∈C ，有 乘法交换律 z1·z2＝_____ 乘法结合律 (z1·z2)·z3＝_________ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_________ z1·(z2·z3) z1z2＋z1z3 z2·z1 (a＋bi)•(c＋di) (ac－bd)＋(ad＋bc)i 三、概念形成 思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？ 提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并． 思考2：|z|2＝z2，正确吗？ 提示：不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1. 2.共轭复数的性质 3.复数的除法 在进行复数的乘法运算时，要将i2化为-1；在进化复数的除法运算时，要将分母化为实数．复数的乘除运算的结果都要写为a＋bi(a，b∈R) 的形式． 提示 1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．(　　) (2)若z1，z2∈C，且z1＋z2＝0，则z1＝z2＝0.(　　) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数．(　　) (4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．(　　) 四、概念深化 × × √ √ 2. (1＋i)(2＋i)＝(　　) A．1－i　B．1＋3i C．3＋i D．3＋3i B 五、应用举例 【例1】 (1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，1)　B.(－∞，－1) C.(1，＋∞) D. (－1，＋∞) 解析：z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以 ， 解得a<－1. B 五、应用举例 【例1】(2)计算： ①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； ②(3＋4i)(3－4i)； ③(1＋i)2. 解：(2)①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i. ②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25. ③(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. (2)如图所示，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是 ，则复数 对应的点所在象限为(　　) 【例2】(1)(2019年全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　 ) A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i D A. Ⅰ B. Ⅱ C.Ⅲ D.Ⅳ 解析：由复数的几何意义知，z1＝-2-i，z2＝i，所以 ，对应的点在