7.2.2复数的乘、除运算课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.2.2 复数的乘除运算 已知两复数z1=a+bi，z2=c+di（a,b,c,d是实数） （1）加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i； （2）减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i. 即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减). 复习回顾 复数加减法法则 复数加法的交换律、结合律 对任意z1，z2，z3 C,有 z1+z2=z2+z1 （z1+z2）+z3=z1+（z2+z3） 复习回顾 【问题1】设a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？ (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd. 【问题2】复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1·z2 ＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法将其展开，则z1·z2等于什么？ 新课探究 新课探究 1.复数的乘法法则： 【说明】 2.复数乘法的运算律 【思考】复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？ 请验证乘法是否满足交换律. 对任意复数z1=a+bi,z2=c+di， 则z1·z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i， 而z2·z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 所以 z1·z2=z2·z1 (交换律). 新课探究 新课探究 复数乘法的运算律 【例1】计算(1-2i)(3+4i)(-2+i). 解:(1-2i)(3+4i)(-2+i) =(11-2i)(-2+i) =-20+15i. 分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1. 【例2】计算（1）(3+4i)(3-4i)； （2） (1+i)2. 解: (1)(3+4i)(3-4i) =32-(4i)2 =9-(-16) =25. (2)(1+i)2 =1+2i+i2 =1+2i-1 =2i. 实数 令z1=a+bi，则z2=a-bi 则z1·z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-b2i2 =a2+b2. 结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数. 【总结提升】 （1）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立； （2）复数的混合运算也是先乘方，再乘除，最后加减，有括号应先处理括号里面的． 新课探究 【探究】 类比分母有理化 如：化简 ？ 思考1：复数除法的定义是什么？ 1.满足的复数 叫复数除以复数的商，记为：或者. 思考2：复数除法的规则是什么？ 推导：①设复数a+bi(a,b∈R)，除以c+di(c,d∈R)，其商为x+yi(x,y∈R)， 即. ∵， . 由复数相等定义可知 解这个方程组，得 ∴ . 推导：②利用， 于是将的分母“有理化”得： 原式= ∴(a+bi)÷(c+di)=. 思考2：复数除法的规则是什么？ 新课探究 分母实数化 3.复数除法的法则： = 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 新课探究 复数除法的法则是: 【方法】在进行复数除法运算时，通常先把 在作根式除法时，分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”.这里分子分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”. 先写成分式形式 然后分母实数化,分子分母同时乘以分母的共轭复数 结果化简成 代数形式 新课探究 4.在复数范围内解方程 【分析】 根本大法配方 一元二次方程求根公式 归纳小结，提高认识 布置作业，检测目标 教材P80第3、4、6、7题. （1）两个复数的积是一个确定的复数.特别地，当 都是实数时， 把它们看作复数时的积就是这两个实数的积. （2）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 换成－1， 并且把实部与虚部分别合并. 对于任意 ， ， ，有 （交换律） （结合律） （分配律） 【思考】若 是共轭复数，则 是一个怎样的数？ 【例4】在复数范围内解下列方程： （1） ； （2） ，其中 ， ， ，且 ， . 利用复数的乘法容易得到（1）中方程的根. 对于（2），当 时，一元二次方程 无实数根. 利用求解一元二次方程的“根本大法”——配方法， 类似于（1），就能在复数范围内求得（2）中方程的根. 【例4】在复数范围内解下列方