7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1　复数的概念 7.1.1　数系的扩充和复数的概念 一、创设情境 引入新课 自然数（正整数与零） 整数 有理数 实数 ？ 计数的需要 表示相反意义的量 解方程x+3=1 测量、分配中的等分 解方程3x=5 度量的需要 解方程x2=2 解方程x2=－1 探究1：一元二次方程 在实数集范围内的解是 ？ 问题1：我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 二、合情推理，类比扩充 为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： (1) i 21； (2)实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然 成立. 三、引入新数，完善数系 四、探究本质 抽象定义 复数的概念 (1)形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数, 通常用字母 z 表示. (2) 实部 虚部 其中 称为虚数单位. (3)全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母 C 表示. 四、探究本质 抽象定义 探究2：复数集C和实数集R之间有什么关系？ N  Z  Q  R  C 探究3：如何对复数分类？ ï î ï í ì 实数 虚数 = 0 b ¹ 0 b î í ì 纯虚数 ¹ = 0 0 b a ， 非纯虚数 ¹ ¹ 0 0 b a ， 探究4：你认为怎样定义两个复数相等？ 问题2：两个复数有大小关系吗？ 探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？ 四、定义辨析 强化理解 辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.(　　) 辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.(　　) 提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数. 辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( 　) 提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分. 辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数. (　　) 提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数. 提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数集的交集是实数集. × × × √ 【例1】复数3-i的实部和虚部分别是(　　) A.3和1 B.3和i C.3和-1 D.3和-i 分析：复数的实部和虚部都是实数，其中虚部是复数z=a+bi (a，b∈R)中虚数单位i的系数，即复数z=a+bi(a，b∈R)的实 部为a，虚部为b. 解析：把复数3-i写成z=a+bi(a，b∈R)的形式为3+(-1)i， 故3-i的实部和虚部分别是3和-1. C 五、举例应用 掌握定义 【例2】下列命题：①若z=a+bi，则仅当a=0，b≠0时z为纯虚数；②若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0，则z1=z2=z3； ③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一 一对应关系.其中正确命题的个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 分析：解决复数的相关问题时，一定保证形如a+bi的复数中 的a，b∈R这一前提条件. 五、举例应用 掌握定义 解析：在①中未对z=a+bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1=1，z2=0，z3=i，则(z1-z2)2+(z2-z3)2=12+(-i)2=1-1=0，但z1≠z2≠z3，故②错误；在③中忽视0·i=0，故③也是错误的.故选A. A 【例2】下列命题：①若z=a+bi，则仅当a=0，b≠0时z为纯虚数；②若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0，则z1=z2=z3； ③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一 一对应关系.其中正确命题的个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 五、举例应用 掌握定义 【例3】若(y2-3y)+yi(y∈R)是纯虚数，则(　　) A.y=3 B.y=3或y=0 C.y≠0 D.y≠3 分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，列出方程(组). 解析：因为(y2-3y)+yi(y∈R)是纯虚数， 所以 解得y=3. 五、举例应用 掌握定义 A 分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，列出方程(组). 五、举例应用 掌握定义 【例4】 已知复数z=+(m²-2m-15)i.当m为何值时， (1)z是虚数；(2)z是纯虚数. 解：(1)当 即m≠5且m≠-3时，z是虚数. (2)当 即m=3或m=-2时，z是纯虚数. 五、举例应用 掌握定义 【例4】 已知复数z=+(m²-2m-15)i.当m为何值时， (1)z是虚数；(2)z是纯虚数. 【例5】在复数集C={a+bi|a，b∈R}中的两个数2+bi与a-3i相等，