6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例（第二课时）课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3.3 余弦定理、正弦定理的应用举例 第2课时 高度、角度问题 一 、问题导入·进入新课 【问题1】现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？ 【问题2】在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？ 二 、课堂探究·师生共研 探究点1 测量底部不可到达的建筑物的高度 【例1】如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度. 【分析】如图，求AB长的关键是先求AE，在 △ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长. 解: 如图，选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别α,β,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上,行驶5 km后到达B处,测得此山顶在西偏北25°的方向上,仰角为8°,求此山的高CD(精确到1 m). 【小试牛刀】 解：在△ABC中，∠A=15°, ∠C= 25°-15°=10°. 根据正弦定理， CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1 047(m). 答：山的高约为1047米. 正确转化为数学模型 二 、课堂探究·师生共研 探究点2 测量角度问题 解：根据题意，画出示意图， 说明：由于题目中没有给出图形，因此正确理解题意、画出示意图，是解决问题的重要环节. 【分析】首先应根据“正东方向”“南偏西30°”“目标方向线”等信息，画出示意图. 由于0°<C<90°，所以C≈46°. 因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向是北偏东46°+30°=76°， 大约需要航行24n mile. 【小试牛刀】 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行的距离是多少?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01 n mile) 分析：首先求出AC边所对的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB. 解：在 △ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°， 根据余弦定理， 根据正弦定理, 答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15nmile. 近测高塔远看山， 量天度海只等闲. 古有九章勾股法， 今看三角正余弦. 三 、归纳小结·提高认识 实际问题 抽象概括 示意图 数学模型 推理 演算 数学模型的解 实际问题的解 还原说明 1.利用正弦定理和余弦定理解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中加工、抽取主要因素，并进行适当简化. 2.实际问题处理 四 、布置作业·巩固提高 1.教材P51第1、2题. 2.补充作业：某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 四 、布置作业·巩固提高 谢谢 【例2】位于某海域 处的甲船获悉，在其正东方相距 n mile的 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西 ，且与甲船相距 n mile的 处的乙船，那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向师北偏东多少度（精确到 ）？需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）？ 由余弦定理，得 于是 . 由正弦定理，得 ，于是 . 解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9, ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos 化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去) 所以BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因为sinBAC === BAC =38,或BAC =141（钝角不合题意，舍去）， 38+=83. $$