1.1.1空间向量及其线性运算学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1．1.1　空间向量及其线性运算 [课标解读]　1.理解空间向量的概念.2.掌握空间向量的线性运算.3.掌握共线向量定理、共面向量定理的应用． 教材要点 要点一　空间向量的有关概念 定义 在空间，把具有________和________的量叫做空间向量． 长度 空间向量的________叫做空间向量的长度或________． 表示法 ①几何表示法：空间向量用________表示． ②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. 状元随笔　空间向量在空间中是可以任意平移的． 要点二　几类特殊向量 零向量 长度为零的向量 单位向量 模为________的向量 相反向量 与a长度________而方向________的向量称为a的相反向量 相等向量 方向________且模________的向量 共线向量 (平行向量) 有向线段所在的直线互相________或________的向量 状元随笔　类比平面向量记忆． 要点三　空间向量的加减与数乘运算 运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 a＋b (1)交换律： a＋b＝________； (2)结合律： (a＋b)＋c＝__________ 减法 a－b a－b＝a＋(－b) 数乘 λa (1)|λa|＝________； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向________；当λ＜0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 状元随笔　当两个以上的空间向量相加时，可将三角形法则推广到多边形法则：n个向量首尾顺次相接，则封闭折线的起点指向终点的有向线段表示的向量就是它们的和，即＝． 注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λ→＝；当λ≠0时，若＝，则λ＝． 要点四　方向向量 在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的________称为直线l的方向向量．也就是说直线可以由其上一点和它的方向向量确定． 要点五　共面向量 1．定义：平行于____________的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理：如果两个向量a，b________，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是________________________________． 状元随笔　向量与，共面的充要条件是在向量与不共线的前提下才成立的，若与共线，则不成立． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空间两个向量的加减运算与平面内两向量的加减法运算完全一致．(　　) (2)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．(　　) (3)空间中任意三个向量一定是共面向量．(　　) (4)若P，M，A，B共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y.(　　) 2．下列说法正确的是(　　) A．任一空间向量与它的相反向量都不相等 B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量 D．不相等的两个空间向量的模可能相等 3．d1，d2都是直线l的方向向量，则下列说法中正确的是(　　) A．d1∥d2B．d1＝d2 C．d1与d2同向 D．d1与d2反向 4．如图，已知平行六面体ABCD ­ A1B1C1D1，在下列选项中，与相等的向量是(　　) A．B． C．D． 5．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝________． 题型 1有关空间向量概念的理解 例1　(1)(多选)下列说法中正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p (2)如图所示，在平行六面体ABCD ­ A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________________．(要求写出所有适合条件的向量) 方法归纳 判断空间向量有关概念问题的策略 巩固训练1　下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是(　　) A.零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等 B.零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等 C．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量 D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同 题型 2　空间向量的线性运算 例2　(1)(多选)如图，在长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　) A．B． C．D． (2)如图所示，在平行六面体ABCD ­ A1B1C1D1中，设＝a，＝b