专题17.1 勾股定理（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题17.1 勾股定理（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】勾股定理 1. 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 2. 符号语言：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b斜边长为c，那么+= 【知识点二】勾股定理的验证 我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用了勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理进行证明.最早对勾股定理进行证明的是汉代数学家赵爽，他以“弦图”为基本图形，后人称之为“赵爽弦图”，利用“出入相补”原理证明了勾股定理.运用拼图的方式，即利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理. 【知识点三】勾股定理的实际应用 1.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤 （1）从实际问题中抽象出几何图形； （2）确定与问题相关的直角三角形； （3）找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系； （4）求得符合题意的结果. 2.利用勾股定理解决实际问题的常见类型 （1）直接利用勾股定理列方程解决实际问题； （2）利用勾股定理解决几何体表面最短距离问题； （3）利用勾股定理和方程思想解决与“翻折”相关的问题； （4）利用勾股定理解决有关几何图形的面积问题. 【考点目录】 【考点1】用勾股定理解直角三角形； 【考点2】用勾股定理解决网格上的问题； 【考点3】用勾股定理解折叠问题； 【考点4】勾股定理的证明； 【考点5】通过勾股定理构造直角三角形解决问题； 【考点6】通过勾股定理解决最值问题； 【考点一】用勾股定理解直角三角形 【例1】（2024上·江苏·九年级统考期末）在中，． （1）求的长； （2）求的面积．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理： （1）过点B作于点D，根据直角三角形的性质可得，再由是等腰直角三角形，即可求解； （2）根据勾股定理求出的长，可得的长，再由三角形的面积公式计算，即可求解． （1）解：如图，过点B作于点D， 在中，， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：在中，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【变式1】（2024·全国·八年级竞赛）如图，在中，，，交于，若，，则（    ） A．7 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理；由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解；掌握判定方法及性质，能证出是解题的关键． 解：，， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， 在中， ， ， ； 故选：A． 【变式2】（2024·全国·八年级竞赛）如图，在中，，，点B在上，且，与关于对称，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、含有角的直角三角形的性质及轴对称的性质，熟练掌握相关知识是解答的关键．根据含有角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质分别表示出、，再根据轴对称得，即可表示出． 解：中，， ， ， ， ， 与关于对称， ， ， 故答案为： 【考点二】用勾股定理解决网格上的问题 【例2】（2023上·广东佛山·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点分别是，，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）直接写出对称点坐标________，________； （3）在图中第一象限格点中找出点，使，且同时．（无需计算过程，请把点画清楚一些） 【答案】（1）作图见分析；（2），；（3）作图见分析． 【分析】（）根据关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到、、，顺次连接、、，得到，即为所求； （）根据（）即可求解； （）根据勾股定理，即可找到符合条件的点； 本题考查了作轴对称图形，勾股定理，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （1）解：如图，即为所求； （2）解：由（）可得，，， 故答案为：，； （3）解：如图，点即为所求． 理由：由勾股定理可得，，， 故点为所要找的点． 【变式1】（2023上·广东茂名·八年级统考期末）如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边长的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格与勾股定理、网格中求三角形的面积，先利用割补法和勾股定理求得三角形的面积和，再利用三角形的面积公式求解即可． 解：根据网格特点，，， ∴边长的高为， 故选：B． 【变式2】（2023上·北京延庆·八年级统考期末）如图所示的网格是正方形网格，则 ．（点是网格线交点） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，延长交格点于，连接，证明出是等腰直角三角形，得出，再根据三角形外角的定义及性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：如图：延长交格点于，连接， ，，