6.4.3.1余弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4 余弦定理、正弦定理 6.4.3.1 余弦定理 一 、情境导入·引入新课 【情境】如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC. A B C 二、师生共研·合作探究 探究 因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以考虑用向量的数量积来研究. 二、师生共研·合作探究 探究过程 余弦定理 二、师生共研·合作探究 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边. 拓展延伸·提升素养 你能用其他的方法证明余弦定理吗？ 坐标法 拓展延伸·提升素养 你能用其他的方法证明余弦定理吗？ 几何法 另外，当C为钝角时也可证得上述结论，当C为直角时，a2＋b2＝c2也符合上述结论． 拓展延伸·提升素养 回顾余弦定理的证明方法？ （1）向量法 （2）坐标法 （3）直角三角形的边角关系 证 明 方 法 二、师生共研·合作探究 【思考】余弦定理指出了三角形三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？ 余弦定理及推论把“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行刻画. 余弦定理推论 【思考】勾股定理指出了直角三角形三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三边与期中的一个角之间的关系，你能说出两个定理之间的关系吗？ 二、师生共研·合作探究 若△ABC中，C＝90°，则cos C＝0，这时余弦定理变为 c2＝a2＋b2，由此可知， 余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理是余弦定理的特例． 给出定义 解三角形定义： a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC 方程思想：四个量，知三求一 1.已知两边和它们的夹角求另一边（直接用）； 2.已知三边求角（变形）. 3.判断三角形形状 变形 变一变乐在其中 b2+c2 - a2 2bc cosA= a2+c2 - b2 2ac cosB= a2+b2 - c2 2ab cosC= C B A a b c 想一想： 余弦定理能够解决什么问题？ 三、例题导学·定理应用 三、例题导学·定理应用 四、归纳小结·提高认识 三角形中的边角关系 余弦定理 定理内容 定理证明 定理应用 (1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角， 求第三边和其它两个角. (3)判断三角形形状 五、布置作业·检测目标 教材P44第1、2、3题 谢谢 在 中，三个角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ， 怎样用 ， 和 表示 ？ 如图，设 ， ， ，那么 EMBED Equation.3 . 所以， . 同理可得， ， 如图，以C为原点，边CB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设点B的坐标为(a,0)，点A的坐标为(bcos C，bsin C)， 根据两点间距离公式 AB＝eq \r(bcos C－a2＋bsin C－02)， 所以c2＝b2cos 2C－2abcos C＋a2＋b2sin 2C. 整理，得c2＝a2＋b2－2abcos C. 同理可以证明a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B. 如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CDB中， 根据勾股定理，可得a2＝CD2＋BD2. 因为在Rt△ADC中，CD2＝b2－AD2， 又因为BD2＝(c－AD)2＝c2－2c·AD＋AD2， 所以a2＝b2－AD2＋c2－2c·AD＋AD2＝b2＋c2－2c·AD. 又因为在Rt△ADC中，AD＝b·cos A，所以a2＝b2＋c2－2bccos A. 同理可以证明a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B. 一般地，三角形的三个角 ， ， 和它们的对边 ， ， 叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 例1.在 中，已知 ， ， ,解这个三角形 （角度精确到 ，边长精确到 ） 解：由余弦定理，得 ， 所以 由余弦定理推论，得 ， 利用计算器，可得 . 所以 . 例2.在 中， ， ，锐角 满足 ，求 (精确到 ). 解：因为 ，且 为锐角， 所以 . 由余弦定理，得 , 所以 . 进而 EMBED Equation.3 .利用计算器，可得 . $$