立体几何综合问题专项训练-2024届高三数学二轮复习

越努力，越幸运！ 2024届高三二轮复习立体几何综合问题（一） 专题一：常规建系 1．如图，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 2．在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，． (1)求证：； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值． 3．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 4．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 专题二：建系困难 5.三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．    (1)求侧棱的长； (2)侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 6.如图，在三棱台中，面，， (1)证明：； (2)若棱台的体积为， ，求二面角的余弦值． 7.如图所示，为等边三角形，平面，，，，为线段上一动点．    (1)若为线段的中点，证明：． (2)若，求二面角的余弦值． 8.如图，在三棱柱中，为的中点，平面平面 (1)证明：平面; (2)己知四边形为边长为2的菱形，且，求二面角的余弦值． 专题三：动点问题 9．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为线段的中点，为线段上的动点.    (1)求证：平面平面； (2)试求的长，使平面与平面所成的锐二面角为. 10．在三棱锥中，，平面，点是棱上的动点，点是棱上的动点，且. (1)当时，求证：； (2)当的长最小时，求二面角的余弦值 11．如图，在三棱台中，若平面，为中点，为棱上一动点（不包含端点）. (1)若为的中点，求证：平面. (2)是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由. 12．已知四棱锥中，底面是矩形，，，是的中点． (1)证明：； (2)若，，点是上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求． 专题四：存在性问题 13．等边三角形的边长为3，点分别是边上的点，且满足，如图甲，将沿折起到的位置，使二面角为直二面角，连接，如图乙.    (1)求证：平面. (2)在线段上是否存在点，使平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 14．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面相互垂直，已知．    (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 15．如图，在三棱台ABC－DEF中，平面DEBA⊥平面ABC，平面DFCA⊥平面ABC，AB：BE：DE=4：5：1. (1)求证：AD⊥BC； (2)若△ABC是等边三角形，试问：棱BE上是否存在一点H，使得二面角H－AC－B的平面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 细心 耐心 恒心1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 越努力，越幸运！ 2024届高三二轮复习立体几何综合问题（一） 专题一：常规建系 1．如图，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. （2）由（1）平面，又平面，则， 以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，    则， 所以， 设平面的法向量为，则，即 令，则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 所以， 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为. 2．在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，． (1)求证：； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形可得线线垂直，即可由线面垂直的判定定理求证， （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解. 【详解】（1）取的中点为，连接，， ∵，是中点，∴， 在和中，，， ∴，∴， ∵的中点为E，∴， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴ （2）过作平面，垂足为，连接，，∴ ∵，，，平面，所以平面， ∴，同理， ∵底面为等腰直角三角形，，， ∴四边形为正方形且边长为．, 以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则 ，，， ∴，，， 设平面的法向量，则， 解得，取，则，，∴， 设平面的法向量，则，解得， 取，则，，∴， 设平面与平面夹角为 ∴ 故平面与平面夹角的余弦值为． 3．如图，在正四棱柱中，．点分别