解三角形中的范围与几何问题专项训练-2024届高三数学二轮复习

越努力，越幸运！ 2024届高三二轮复习解三角形中的范围与几何，向量问题 专题一：解三角形中的范围问题 1．在平面四边形中，. (1)求的长； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 2．在锐角中，角所对的边分别是，满足. (1)求证：； (2)求的取值范围. 3．在中，为上一点，． (1)若D为的中点，求的面积的最大值； (2)若，求的面积的最小值． 4．已知中，角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求的大小； (2)如图，，在直线的右侧取点，使得，求为何值时，四边形面积的最大，并求出该最大值． 5．如图，在平面四边形ABCD中，，，，． (1)若，求； (2)记 与 的面积分别记为和，求的最大值． 6．在中，，，分别为角，，所对的边，为边上的高，设，且. (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 专题二：解三角形中的几何问题 7．如图，内一点满足. (1)若，求的值； (2)若，求的长. 8．在中，，D为中点， . (1)若，求的长； (2)若 ，求的长. 9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)已知，M点为BC的中点，N点在线段AC上且，点P为AM与BN的交点，求的余弦值. 10．已知的三个角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若，在的边和上分别取点，，将沿线段折叠到平面后，顶点恰好落在边上（设为点），设，当取最小值时，求的面积． 11．如图，四边形ABCD中，． (1)若，求△ABC的面积； (2)若，，，求∠ACB的值． 12．如图，已知△ABD的重心为C，△ABC三内角A、B、C的对边分别为a，b，c.且 (1)求∠ACB的大小； (2)若，求的大小. 专题三：解三角形中的向量问题 13．在中，为边上中线，，，． (1)求的面积； (2)若，求． 14．已知梯形中，. (1)若，求的值； (2)若，设的面积为，求的最大值. 15．在中，角A，，所对的边分别为，，，，，且． (1)若，，求的周长； (2)若，，求的最大值． 16．在中，角所对的边分别为平分，且． (1)求； (2)求的外接圆和内切圆的面积之比． 17．如图，在中，，在的外部，，．    (1)求； (2)若DA与FC的延长线交于点P，且，，求面积的最大值． 细心 耐心 恒心1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 越努力，越幸运！ 2024届高三二轮复习解三角形中的范围与几何，向量问题 专题一：解三角形中的范围问题 1．在平面四边形中，. (1)求的长； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理可得， 即，解得或； （2）因为，所以， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 在中，因为， 所以， 由，得，所以， 所以. 2．在锐角中，角所对的边分别是，满足. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【详解】（1）由及余弦定理 得，由正弦定理得：， 又，， ，， 都是锐角，，即. （2）令 ， 由（1）得， 在锐角三角形中，，即， 解得，， 令，， 又函数在上单调递增， ， 故的取值范围是. 3．在中，为上一点，． (1)若D为的中点，求的面积的最大值； (2)若，求的面积的最小值． 【解析】（1）因为D为的中点， 所以,∴． 记角的对边分别为， 因为．所以， 则， 所以（当且仅当时取得最大值）． 所以. （2）∵，， ∴， 设，在中，由正弦定理可得， 所以．同理可得． 由，所以， 所以． 所以． 设．则， 令，得，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以面积的最小值为． 4．已知中，角，，所对的边分别为，，，满足.    (1)求的大小； (2)如图，，在直线的右侧取点，使得，求为何值时，四边形面积的最大，并求出该最大值． 【详解】（1）由题意，， 由正弦定理得 即 又因为中，， 所以， 又因为，所以，即． 又，故. （2）由（1）知，， 因为，所以为等边三角形， 在中，由余弦定理得， ， 而， ， 所以四边形的面积为 ， 因为，， 当，即时，取得最大值，为， 故四边形面积的最大值为． 5．如图，在平面四边形ABCD中，，，，． (1)若，求； (2)记 与 的面积分别记为和，求的最大值． 【详解】（1）∵，∴， ，， ，， ∴   ； （2）设，，∴， ∴，∴，① ， 当且仅当，时取最大值 ； 综上， ， 的最大值是 . 6．在中，，，分别为角，，所对的边，为边上的高，设，且. (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 【详解】（1）在中，，若. 又， （2）由（1）知. 如图，在中，过作的垂线，且使，则， ，即，得， ，, 设，，在区间单调递减， ，即, 专题二：解三角形中的几何问题 7．如图，内一点满足. (1)若，求的值； (2)若，求的长