湖北省华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期数学独立作业(一)

华中师大一附中高二年级下学期独立作业（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 没有公共点的两条直线是异面直线 B. 若两条直线a，b与平面α所成的角相等，则 C. 若平面α，β，γ满足，，则 D. 已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面.若，，，则 2. 一个边长为的正方形被等分成个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图（1）；再将剩余的每个正方形都等分成个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图（2），如此继续操作下去，到第次操作结束时，挖掉的所有正方形的面积之和为（ ） A. B. C. D. 3. 直线的一个方向向量是（ ） A B. C. D. 4. 双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支于点，，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 5. 对于数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为有界数列．记是数列的前项和，下列说法错误的是（ ） A. 首项为1，公比为的等比数列是有界数列 B. 若数列是有界数列，则数列是有界数列 C. 若，则数列不是有界数列 D. 存在等差数列和等比数列，使得数列是有界数列 6. 正方体中，分别是的中点，点是线段（含端点）上的动点，当由点运动到点时，三棱锥的体积（ ） A. 先变大后变小 B. 先变小后变大 C. 不变 D. 无法判断 7. 已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 某数学兴趣小组研究曲线和曲线的性质，下面同学提出的结论正确的有（ ） 甲：曲线都关于直线对称 乙：曲线在第一象限的点都在椭圆内 丙：曲线上的点到原点的最大距离为 A 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 是递增数列 B. 时，n的最大值为13 C. 数列中的最大项为 D. 时，n的最大值为27 10. 如图所示，已知正四棱柱中，为的中点，则（ ） A. 平面 B 平面 C. 为棱上任一点，则三棱锥的体积为定值 D. 平面截此四棱柱的外接球得到的截面面积为 11. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，如图，过的直线与C交于点A，与y轴交于点B，，，设C的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前项和，且恰好有一项是负项，则的值是_________． 13. 已知，，，若在圆（）上存在点满足，则实数取值范围是______. 14. 某中学高三10班为了激励学生学习数学的热情，对平时数学课堂展示及分享获得的积分位于班级前5名的同学每位奖励一本我国古代数学名著，每位同学从《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》5本名著中随机抽取一本．公布结果前，老师让甲、乙、丙、丁、戊五位同学猜一猜积分班级前5名的同学各人抽到的是什么书．甲说：第三名抽到的书是《周髀算经》，第五名抽到的书是《孙子算经》；乙说：第四名抽到的书是《五经算术》，第五名抽到的书是《夏侯阳算经》；丙说：第一名抽到的书是《九章算术》，第四名抽到的书是《五经算术》；丁说：第一名抽到的书是《孙子算经》，第二名抽到的书是《周髀算经》；戊说：第三名抽到的书是《九章算术》，第四名抽到的书是《夏侯阳算经》．老师说，每个名次都有人猜对，则积分第一名和第五名分别抽到的书是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知椭圆的离心率为，点在上. （1）求的方程； （2）设点关于原点对称点为为上异于的动点，直线分别交轴于两点，求的最小值. 16. 如图，已知中，，是上一点，且，将沿翻折至，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角正弦值． 17. 已知抛物线的焦点为F，若的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”． （1）设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程； （2）已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于2． 18. 同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（modm）（“|”为整除符号）． （1）解同余方程（mod3）； （2）设（1）中方程的所有正根构成数列，其中． ①若（）