课时达标检测(5) 等差数列的性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

课时达标检测(五)　等差数列的性质 学生用书P071 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6等于 (B) A.-1 B.0 C.1 D.6 解析　因为{an}是等差数列,所以2a4=a2+a6,于是a6=2a4-a2=2×2-4=0。 2.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值等于 (C) A.45 B.75 C.180 D.300 解析　因为a3+a4+a5+a6+a7=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=450,所以a5=90。所以a2+a8=2a5=180。 3.已知递增的等差数列{an}中,若a1=1,a3=-4,则 (A) A.an=2n-1 B.an=2n+1 C.an=2n D.an=1-2n 解析　设等差数列{an}的公差为d,则由a3=-4得,1+2d=(1+d)2-4,解得d=±2。由于数列{an}为递增数列,所以d=2,故an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。故选A。 4.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为 (D) A. B.± C.- D.- 解析　由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4π,所以a7=。所以tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan=tan=-。 5.设等差数列{an}的公差为d。若数列{}为递减数列,则 (D) A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0 解析　因为{}为递减数列,所以===<1。所以a1d<0。故选D。 6.若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图像与x轴的交点的个数为 (D) A.0 B.1 C.2 D.1或2 解析　因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c。所以Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0。所以二次函数y=ax2-2bx+c的图像与x轴的交点个数为1或2。 二、多项选择题 7.下列命题中正确的是 (BCD) A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列 B.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列 C.若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列 D.若a,b,c成等差数列,则,,可能成等差数列 解析　对于A,取a=1,b=2,c=3,则a2=1,b2=4,c2=9不成等差数列,A错;对于B,若a=b=c,则2a=2b=2c,所以2a,2b,2c成等差数列,B正确;对于C,因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b,所以(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),所以ka+2,kb+2,kc+2成等差数列,C正确;对于D,若a=b=c≠0,则==,所以,,成等差数列,D正确。故选BCD。 8.已知数列{an}是首项为1,公差为d(d∈N+)的等差数列。若81是该数列中的一项,则公差d可能的取值为 (ACD) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　因为数列{an}是首项为1,公差为d(d∈N+)的等差数列,所以an=1+(n-1)d。因为81是该数列中的一项,所以81=1+(n-1)d,所以n=+1。因为d,n∈N+,所以d是80的因数,所以d不可能是3。故选ACD。 三、填空题 9.设数列{an},{bn}都是等差数列。若a1+b1=7,a5+b5=21,则a9+b9= 35 。  解析　因为数列{an},{bn}都是等差数列,所以数列{an+bn}也是等差数列。故由等差数列的性质,得(a9+b9)+(a1+b1)=2(a5+b5),即a9+b9+7=2×21,解得a9+b9=35。 10.已知数列{an}中,a1=1,an+1=,则an=  ,a6=  。  解析　因为a1=1,an+1=,所以an>0。an+1=的等号两边取倒数、变形,得-=2,所以数列是等差数列,公差为2。所以=1+2(n-1)=2n-1。所以an=,所以a6=。 四、解答题 11.在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,求a3+a6+a9的值。 解　解法一:因为(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=3d,(a3+a6+a9)-(a2+a5+a8)=3d,所以a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9成等差数列。所以a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=2×33-39=27。 解法二:因为a1+a4+a7=a1+(a1+3d)+(a1+6d)=3a1+9d=39,所以a1+3d=13　①,因为a2+a5+a8=(a1+d)+(a1+4d)+(a1+7d)=3a1