6.1.1 函数的平均变化率-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第六章 导数及其应用 ▶导语:导数的概念是微积分的核心概念之一,它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本章中,学生将通过大量实例,经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解导数的概念,了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用,为以后进一步学习微积分打下基础。通过本章的学习,学生将体会导数的思想及其丰富的内涵,感受导数在解决实际问题中的作用。 要点精准概括 1个重要概念:导数的概念(包括其定义和几何意义) 3个重要运算:基本初等函数的求导、函数和差积商的求导、简单复合函数的求导 4种重要应用:利用导数求曲线的切线斜率、研究函数的单调性、函数的极值与最值以及求解最优化问题 6.1　导数 6.1.1　函数的平均变化率 ( 　　 在高速路上经常可以看到“区间测速”这样的提醒 , 这其实是在提醒司机安全驾驶 , 它测速的方式是在固定的路程上 , 看你用了多少时间 , 从而达到测速的目的。大家也经常能听到家长们讨论车辆油耗的问题。你的车几个油 ? 这里所说的几个油实际上是汽车百公里的油耗 , 有些车上还可以查看汽车的瞬时油耗。今天我们就来研究生活中的变化率问题。 理解函数平均变化率的概念 , 并会求平均变化率。 ) 　 知识点、函数的平均变化率 1.定义:一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称Δx=x2-x1为自变量的改变量;称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量;称=(或=)为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率。 2.实际意义:在以x1,x2为端点的闭区间上,自变量每增加1个单位,因变量平均将增加个单位。 3.作用:近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图像)在某一区间上的变化趋势,是曲线倾斜程度的“数量化”,曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”。 微提醒 　　(1)Δx和Δy是整体符号而不是乘积,它们分别表示自变量的改变量和函数值的改变量。 (2)Δy与Δx是对应的,当Δx=x-x0时,Δy=y-y0。它们可正可负,但Δx≠0,Δy可为0。 类型一 求函数的平均变化率 　　【例1】　已知函数f(x)=3x2+5,求f(x) (1)从0.1到0.2的平均变化率; (2)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率。 解　(1)因为f(x)=3x2+5,所以从0.1到0.2的平均变化率为=0.9。 (2)因为f(x0+Δx)-f(x0)=3(x0+Δx)2+5-(3+5)=3+6x0Δx+3(Δx)2+5-3-5=6x0Δx+3(Δx)2,所以函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为=6x0+3Δx。 　　(1)求函数平均变化率的三个步骤。 第一步,求自变量的改变量Δx=x2-x1。 第二步,求函数值的改变量Δf=f(x2)-f(x1)。 第三步,求平均变化率=。 　　(2)求平均变化率的一个关注点。 求点x0附近的平均变化率,可用的形式。 【变式训练】　如果函数y=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a= (C) A.-3 B.2 C.3 D.-2 解析　根据平均变化率的定义,可知==a=3。 类型二 平均变化率的比较 　　【例2】　已知函数f(x)=x+,分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率,并比较函数在两区间上变化的快慢。 解　自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为==;自变量x从3变到5时,函数f(x)的平均变化率为==。因为<,所以函数f(x)=x+在自变量x从3变到5时函数值变化得较快。 　　比较平均变化率的步骤 (1)求出两不同点处的平均变化率。 (2)作差(或作商),并对差式(或商式)作合理变形,以便探讨差的符号(或商与1的大小)。 (3)下结论。 【变式训练】　下列4个函数在区间[1,1.3]上的平均变化率最大的是 (B) A.y= B.y=x3 C.y=x2 D.y=x 解析　根据平均变化率的定义可求得y=,y=x3,y=x2,y=x这4个函数在[1,1.3]上的平均变化率依次为-,3.99,2.3,1,故选B。 类型三 求平均速度 　　【例3】　一质点的运动方程为s=8-3t2,其中s表示位移(单位:m),t表示时间(单位:s)。求该质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度。 解　该质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度为==(-6-3Δt)(m/s)。 　　运动中物体的位移随时间变化的函数为s=s(t),则求物体在[t,t0]时间的平均速度的步骤如下。 ①写出时间改变量Δt=t0-t,位移改变量Δs=s(t0)-s(t)。