6.1.1函数的平均变化率（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

6.1.1函数的平均变化率 如何用数学知识来反映山势的平缓与陡峭程度？ 1.理解函数平均变化率的概念.（重点） 2.理解函数平均变化率的几何意义. （难点） 3.会求函数在某点处附近的平均变化率.(重点） 探究点1: 函数的平均变化率 药物在动物体内的含量随时间变化的规律，是药学与数学间的边缘学科---药物动力学的研究内容，相关的规律是确定药物的使用量和用药时间间隔的依据，他克莫司是一种新型免疫抑制剂，在器官移植临床中的应用非常广泛，已知某病人服用他克莫司后血药浓度的一些对应数据如下表所示. 0 0.5 1 1.5 2 3 5 8 0 6.6 28.6 39.1 31 22.7 8.8 8.3 思考1：当和时，都是增加的，哪个时段的增加更快？ 由所给数据不难看出，当和时， 的增加量分别为 因为时间间隔都是，所以时， 增加更快. 思考2：当时，平均每小时的变化量为多少？ 当时，的变化量为 ， 又因为共有5-3=2(h)，所以平均每小时的变化量为 . 思考3：在问题2中的平均每小时的变化量有什么实际意义？ 在这段时间内，任意1个小时血药浓度平均减少，此时，任意()个小时血药浓度平均减少. 一般地，若函数的定义域为D，且 ，，，， 则称 为自变量的改变量； 称(或)为相应的因变量的改变量； 函数的平均变化率的定义 (或 称 为函数在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率. . 在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加个单位，因此，如果自变量增加h个单位，那么因变量将增加( )个单位. 函数平均变化率的实际意义 函数平均变化率的几何意义 思考4：图中为函数的函数图像，其中A()， B()，则函数在区间[x1，x2]上的平均变化率与直线AB的斜率有什么关系？ 观察函数的图象，可知函数平均变化率 恰好表示曲线f(x)的过点 A,B的割线的斜率 因此，平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图像)在某一区间上的变化趋势，是曲线倾斜程度的“数量化”，曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”. 例 1.求函数在下列区间上的平均变化率: （1） ； （2）以1和为端点的闭区间. 解： (1)依定义可知 4.  即在上的平均变化率为4. （2）依定义可知 ， 在以1和为端点的闭区间上的平均变化率为. (2)的计算结果说明，函数在以1和为端点的闭区间上的平均变化率与有关：增大时，平均变化率增大. 【变式练习】 1.已知函数的图象上的一点及邻近一点 ,则=( ) A. 3 B. 3 C. 3 D.3 D 2.如图，函数在两点A，B间的平均变化率是(　　) A. 1 　　 B. C. 2 　　 D. B 探究点2:以直代曲 在前述血药浓度问题中的数据可以用图像表示，若将作为时间的函数，除了根据已知数据得到的点以外，函数图像上其他点我们是不知道的.例如，函数图像有可能是图中黄色曲线，也有可能是绿色曲线. 0 0.5 1 1.5 2 3 5 8 0 6.6 28.6 39.1 31 22.7 8.8 8.3 思考1：观察表中的数据与图像，怎样才能估计出时的值？ 我们可以将图中的线段AB近似的看成在上的图像，从而由AB的直线方程可以计算出时的估计值： 因为直线AB的斜率为6.95，且B(5，8.8)，所以由直线的点斜式可知AB的直线方程为 代入，可以算得，也就是说的估计值为. 上述求估计值的关键是用直线段代替了曲线段，简称为“以直代曲”. 从物理学中我们知道，平均速度可以描述物体在一段时间内运动的快慢，如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t)，则物体在[t1,t2](t1<t2时)这段时间内的平均速度为 (m/s). 平均变化率的物理意义——平均速度 这就是说，物体在某段时间内的平均速度等于x=h(t)在该段时间内的平均变化率. 探究点2:平均速度与平均变化率 例 2.已知某物体运动的位移是时间的函数，而且时， 时， . （1）求这个物体在时间段内的平均速度； （2）估计出时物体的位移. 解：(1)所求平均速度为 (2)将上的图像看成直线， 则由(1)可知，直线的斜率为5，且直线通过点，因此， 与的关系可近似地表示为 在上式中令，可求得， 即物体的位移可以估计为 以直代曲. 函数的平均变化率 定义 几何背景 物理背景 割线斜率 平均速度 $$