5.4 数列的应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.4　数列的应用 知识点一、等额本金还款法 1.“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期的还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率。因此这种方式中,每期还款金额=+(贷款本金-已还本金总额)×利率。 2.{an}是一个递减的等差数列,公差d=-·r。 3.=月利率。 　　【例1】　某大学毕业生为自主创业于2014年8月初向银行贷款240 000元,与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款,从2014年9月初开始,每个月月初还一次款,贷款月利率为0.5%,设第n个月还款金额为an元。 (1)求出an的表达式; (2)现因经营状况良好准备向银行申请提前还款计划于2019年8月初将剩余贷款全部一次还清,则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少还多少元? 解　(1)因为每期所还本金为=2 000元。由等额本金还款公式知an=2 000+[240 000-2 000(n-1)]×0.5%=3 210-10n。 (2)因为an=3 210-10n,所以a1=3 200,a60=2 610,d=-10,a120=2 010,所以按原约定所有还款数额为S120==312 600元,按现计划所有还款数额为S60+2 000×60=+120 000=294 300元,所以S120-(S60+2 000×60)=312 600-294 300=18 300元。所以该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少还18 300元。 　　等额本金还款法的实质是利用等差数列的通项公式及求和公式解决实际问题的一种应用。本题在认真阅读理解题意的基础上认识到两种还款方式的本金没有差额,而前60个月的还款利息也是一样的,唯一不同是后60个月的还款利息。 知识点二、等额本息还款法 1.“等额本息还款法”是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还,因此每一期所还钱数相等,即a1=a2=…=am。 2.若没贷款时的资金A0元为现值。利率为r且每一期所还钱数为x元,则算m期所还的现值为x=。 　　【例2】　创客王某白手起家,于2017年12月31日向银行贷款100 000元做创业资金,银行贷款年利率为5%,若此贷款分十年还清(2027年12月31日还清),每年年底等额还款(每次还款金额相同),设第n年末还款后此人在银行的欠款额为an元。 (1)设每年的还款额为m元,请用m表示出a2; (2)求每年的还款额(精确到1元)。 (参考数据:(1+5%)10≈1.628 9) 解　(1)由题意得a2=100 000×(1+5%)2-m(1+5%)-m=110 250-2.05m。 (2)王某采用的贷款为等额本息还款法,所以由公式知每年还款额为m=≈12 950元。 　　等额本息还款法实质是等比数列前n项和公式的一种实际应用。 【变式训练】　刚上班不久的小明于10月5日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价8 000元的手机,约定从下月5日开始,每月5日按等额本息(每期以相同的额度偿还本金和利息)还款a元,1年还清;其中年利率为6%,则小明每月还款数a= 685 元(精确到个位)。(参考数据:1.00511≈1.056,1.00512≈1.062,1.00513≈1.067)  解析　由已知得1年共12期,月利率为=0.5%,小明每月还款数a=≈685元。 知识点三、等比数列前n项和的实际应用 　　【例3】　某地响应“绿水青山就是金山银山”的号召,投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,2019年投入1 000万元,以后每年投入将比上一年减少,本年度当地旅游业收入估计为500万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加。 (1)设n年内(2019年为第一年)总投入为Sn万元,旅游业总收入为Tn万元,写出Sn,Tn的表达式; (2)至少到哪一年,旅游业的总收入才能超过总投入。 (参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 5≈0.699 0) 解　(1)2019年投入为1 000万元,第n年投入为1 000×万元,所以,n年内的总投入为Sn=1 000+1 000+1 000+…+1 000==5 0001-。2019年旅游业收入为500万元,第n年旅游业收入为500×万元,所以,n年内的旅游业总收入为Tn=500+500+500+…+500==2 000。 (2)设至少经过n年,旅游业的总收入才能超过总投入,由此得Tn-Sn>0,即2 000-5 0001->0,令x=,代入上式得5x2-7x+2>0,解得x<或x>1(舍去),即<,不等式两边取常用对数,nl