5.2.1 第2课时 等差数列的性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第2课时　等差数列的性质 ( 　　 同学们 , 前面我们学习了等差数列的概念 , 明白了可以从函数的视角认识等差数列。在学习过程中 , 我们发现了一个非常有意思的事情 , 比如说 a n = n , 这是一个正整数 数 列 , 如果我们把其中的偶数拿出来 , 即 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , … , 容易发现这也是一个等差数列 , 同样 , 如果我们把所有的奇数拿出来 , 也能构成一个新的数列 , 今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质。 1 . 能利用等差数列的定义推出等差数列的性质 ; 2 . 掌握等差数列的性质 , 并可以灵活运用性质解决问题。 ) 　 知识点一、等差中项的概念 如果x,A,y是等差数列,那么称A为x与y的等差中项。根据等差中项与等差数列的定义可知A-x=y-A,因此A=。 知识点二、等差数列的性质 一般地,如果{an}是等差数列,而且正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,则as+at=ap+aq。特别地,如果2s=p+q,则2as=ap+aq。 微提醒 　　若{an},{bn}分别是公差为d,d'的等差数列,则有 数列 结论 {c+an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an+an+k} 公差为2d的等差数列(k为常数,k∈N+) {pan+qbn} 公差为pd+qd'的等差数列(p,q为常数) 　 类型一 等差中项 　　【例1】　在-1与7之间顺次插入3个数a,b,c,使这5个数成等差数列,求此数列。 解　因为-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1与7的等差中项,所以b==3。又a是-1与3的等差中项,所以a==1。又c是3与7的等差中项,所以c==5。所以该数列为-1,1,3,5,7。 　　在等差数列{an}中,由定义有an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N+),即an=,从而由等差中项的定义知,等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。 【变式训练】　若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求m和n的等差中项。 解　由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8。又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10。两式相加,得3m+3n=18,即m+n=6。所以m和n的等差中项为=3。 类型二 等差数列的性质 　　【例2】　已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式。 解　解法一:因为a1+a7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15,所以a4=5。又因为a2a4a6=45,所以a2a6=9,所以(a4-2d)(a4+2d)=9,即(5-2d)(5+2d)=9,解得d=±2。若d=2,则an=a4+(n-4)d=2n-3,n∈N+;若d=-2,则an=a4+(n-4)d=13-2n,n∈N+。 解法二:设等差数列的公差为d,则由a1+a4+a7=15,得a1+a1+3d+a1+6d=15,即a1+3d=5　①。由a2a4a6=45,得(a1+d)(a1+3d)(a1+5d)=45,将①代入上式,得(5-2d)×5×(5+2d)=45,即(5-2d)(5+2d)=9　②,联立①②解得a1=-1,d=2或a1=11,d=-2,即an=-1+2(n-1)=2n-3,n∈N+;或an=11-2(n-1)=-2n+13,n∈N+。 　　解决等差数列运算问题的一般方法:一是灵活运用等差数列{an}的性质;二是利用通项公式,转化为等差数列的首项与公差的求解,属于通用方法;或者兼而有之。这些方法都运用了整体代换与方程的思想。 【变式训练】　(1)在等差数列{an}中,已知a1,a2 023为方程x2-10x+21=0的两根,则a2+a2 022等于 (A) A.10　　　B.15　　　C.20　　　D.40 解析　根据韦达定理及等差数列的性质可得a2+a2 022=a1+a2 023=10。 (2)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7= 20 。  解析　因为数列{an}是等差数列,所以由等差数列的性质,得a3+a8=a5+a6=a4+a7=10,a4+a6=2a5,所以3a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=2×10=20。 类型三 递推关系构造等差数列 　　【例3】　已知数列{an}满足a1=,且当n>1,n∈N+时,有=,设bn=,n∈N+。 (1)求证:数列{bn}为等差数列。 (2)试问,a1·a2是否是数列{an}中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由。 解　(1)证明:当n>1,n∈N+时,=⇔=⇔-2=2+⇔-=4⇔bn-bn-1=4,且b