5.2.1 第1课时 等差数列的定义与通项公式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.2　等差数列 5.2.1　等差数列 第1课时　等差数列的定义与通项公式 ( 　　 我国有用十二生肖纪年的习惯 , 例如 : 2021 年是牛年 , 从 2021 年开始 , 牛年的年份为 2021 , 2033 , 2045 , 2057 , 2069 , 2081 , … 。这些年份有什么特点 ? 1 . 理解等差数列的定义 , 掌握等差数列的通项公式 ; 2 . 会推导等差数列的通项公式 ; 3 . 能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题。 ) 　 知识点一、等差数列的定义 如果数列{an}从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d,即an+1-an=d 恒成立,则称{an}为等差数列,其中d称为等差数列的公差。 知识点二、等差数列的通项公式 一般地,如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d。 知识点三、等差数列与函数 因为an=a1+(n-1)d=nd+a1-d,所以,如果记f(x)=dx+a1-d,则可以看出an=f(n),而且 (1)当公差d=0时,f(x)是常数函数,此时数列{an}是常数列(因此,公差为0的等差数列是常数列); (2)当公差d≠0时,f(x)是一次函数,而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号,因此,当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列。 微提醒 　　(1)等差数列通项公式的其他形式。 ①an=am+(n-m)d。 ②an=an+b(a,b是常数)。 (2)等差数列的判断方法。 ①定义法:an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d⇔数列{an}是等差数列。 ②通项公式法:an=an+b⇔数列{an}是以a1=a+b为首项、以a为公差的等差数列。 微思考 　　1.试证明“若数列的通项公式为an=an+b,则数列{an}是等差数列”。 提示:证明:因为an=an+b,所以an-1=a(n-1)+b(n≥2),所以an-an-1=(an+b)-[a(n-1)+b]=an+b-an+a-b=a(常数)。由此可见{an}是等差数列,且公差是a。 2.等差数列中的公差可以理解为一次函数中的哪个量? 提示:等差数列中的公差可以理解为一次函数中的斜率,所以d=。 类型一 等差数列的概念 　　【例1】　若数列{an}的通项公式为an=10+lg 2n,试说明数列{an}为等差数列。 解　因为an=10+lg 2n=10+nlg 2,所以an+1-an=[10+(n+1)lg 2]-(10+nlg 2)=lg 2(n∈N+)。所以数列{an}为等差数列。 　　判断一个数列是不是等差数列,就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数,但当数列项数较多或是无穷数列时,逐一验证显然不行,这时可以验证an+1-an(n≥1,n∈N+)或者an-an-1(n≥2,n∈N+)是不是一个与n无关的常数。 【变式训练】　判断下列数列是不是等差数列。 (1)9,7,5,3,…,-2n+11,…; (2)-1,11,23,35,…,12n-13,…; (3)1,2,1,2,…; (4)1,2,4,6,8,10,…; (5)a,a,a,a,a,…。 解　由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列,(3)(4)不是等差数列。 类型二 等差数列的通项公式 　　【例2】　(1)若{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求a75。 解　设{an}的公差为d,首项为a1。由题意知解得所以a75=a1+74d=+74×=24。 (2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积为66,求数列的通项公式,并判断,-34是该数列的项吗? 解　依题意得 所以解得或因为数列{an}是递减等差数列,所以d<0。故取a1=11,d=-5。所以an=11+(n-1)·(-5)=-5n+16。即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16。令an=-34,即-5n+16=-34,得n=10。所以-34是数列{an}的第10项。 　　求等差数列的通项公式的一般思路 方程思想:设出基本量a1与d,利用条件构建方程组,求出a1与d,即可写出数列的通项公式。 事实上,已知等差数列中的两项时,利用an=am+(n-m)d求出公差d就可绕过求首项a1,直接写出等差数列的通项公式。 【变式训练】　在等差数列{an}中,已知a4=70,a21=-100,求出数列的首项a1与公差d,并写出通项公式。 解　根据题意,设an=a1+(n-1)d,则有解得a1=100,d=-10,所以通项公式an=100-10(n-1)=-10n+110。 类型三 利用函数性质解决数列问题 　　【例3】　若数列{an}为等差数列