5.1.2 数列中的递推-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.1.2　数列中的递推 ( 　　 《算盘全书》中有一个关于兔子繁殖的问题 : 如果 1 对兔子每月能生 1 对小兔子 ( 一雄一雌 ), 而每 1 对小兔子在它出生后的第 3 个月里 , 又能生 1 对小兔子。在不发生死亡的情况下 , 由 1 对初生的小兔子开始 , 50 个月后会有多少对兔子 ? 从第 1 个月开始 , 每月月末的兔子总对数是 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , … , 这就是著名的斐波那契数列。 1 . 了解递推公式是数列的一种表示方法 ; 2 . 理解递推公式的概念及含义 , 能够根据递推公式写出数列的前几项 ; 3 . 掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式。 ) 　 知识点一、数列的递推关系 如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式) 知识点二、通项公式与递推公式的区别与联系 区别 联系 通项 公式 项an是序号n的函数an=f(n) 都是给出数列的方法,可求出数列中任意一项 递推 公式 已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式 知识点三、数列的前n项和 一般地,给定数列{an},称Sn=a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和。 微提醒 　　递推公式与通项公式一样,都是关于n的恒等式,我们可用符合要求的正整数依次去替换n,从而可以求出数列的各项。 微思考 　　数列的前n项和与通项an之间的关系? 提示:an= 　 类型一 由递推关系求数列中的项 　　【例1】　已知数列{an}的第一项是2,且an=1-(n≥2),写出这个数列的前5项,你能说出这个数列有什么特点吗? 解　a1=2,a2=1-=1-=,a3=1-=1-=-1,a4=1-=1-=2,a5=1-=1-=。可以看到从第4项开始,数列中的项呈周期性地出现2,,-1这三个数,也就是说a1=a4,a2=a5,…,an=an+3,…。 　　由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,然后依次代入计算即可。 (2)解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式。 (3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式。 【变式训练】　已知数列{an}满足下列条件,写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式。 (1)a1=0,an+1=an+(2n-1); (2)a1=1,an+1=。 解　(1)因为a1=0,an+1=an+(2n-1), 所以a2=a1+(2×1-1)=0+1=1; a3=a2+(2×2-1)=1+3=4; a4=a3+(2×3-1)=4+5=9; a5=a4+(2×4-1)=9+7=16。故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2。 (2)由a1=1,an+1=,所以a2==,a3==,a4==,a5==,所以它的前5项依次是1,,,,,故它的一个通项公式为an=。 类型二 由递推关系求通项公式 　　【例2】　已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+-,n∈N+,求数列{an}的通项公式。 解　因为an+1-an=-,所以a2-a1=-,a3-a2=-,a4-a3=-,…,an-an-1=-(n≥2),所以(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=++…+-,即an-a1=1-(n≥2)。所以an=a1+1-=-1+1-=-(n≥2),又当n=1时,a1=-1,也符合上式。所以an=-,n∈N+。 　　由递推公式求通项公式的技巧 (1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一,是高考考查的热点,累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧。 (2)当an-an-1=f(n)且满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1来求an,我们通常称这种方法为累加法。 (3)当=f(n)且满足一定条件时,常用an=··…···a1来求an。我们通常称这种方法为累乘法。 【变式训练】　已知数列{an}满足:a1=1,2n-1an=an-1(n∈N+,n≥2)。求数列{an}的通项公式。 解　an=··…···a1=··…···1==,所以an=。 类型三 由递推公式求若干项 　　【例3】　若数列{an}满足a1=2,an+1=,n∈N+,求a2 023。 解　a2===-3,a3===-,a4===,a5===2=a1,所以{an}是周期为4的数列,所以a2 023