5.1.1 第2课时 数列的性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第2课时　数列的性质 知识点一、数列的分类 1.数列按项数可分为有穷数列和无穷数列。 2.按后一项和前一项的大小关系可分为递增数列、递减数列和常数列。 3.从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列,叫做递增数列;从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列,叫做递减数列;各项都相等的数列叫做常数列。 知识点二、数列与函数的关系 数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数。数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 微思考 　　数列所对应的图像是连续的吗? 提示:不连续。它的图像是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点。 　 类型一 数列的分类 　　【例1】　下列数列哪些是有穷数列?哪些是递增数列?哪些是递减数列?哪些是常数列? (1)2 020,2 022,2 024,2 026,2 028; (2)0,,,…,,…; (3)1,,,…,,…; (4)9,9,9,9,9,9。 解　(1)(4)是有穷数列;(1)(2)是递增数列;(3)是递减数列;(4)是常数列。 　　判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点。对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析;而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限。 【变式训练】　①2011~2018年某市普通高中生人数(单位:万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135。 ②无穷多个构成数列, , , ,…。 ③-2的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,…构成数列-2,4,-8,16,-32,…。 其中,有穷数列是 ① ,无穷数列是 ②③ ,递增数列是 ① ,常数列是 ② 。  类型二 判断数列的单调性 　　【例2】　已知数列{an}的通项公式为an=,试判断该数列的单调性。 解　因为an+1-an=-==,由n∈N+,得an+1-an>0,即an+1>an。所以数列{an}是递增数列。 　　单调性是数列的一个重要性质。判断数列的单调性,通常是运用作差或作商的方法判断an+1与an(n∈N+)的大小,若an+1>an恒成立,则{an}为递增数列;若an+1<an恒成立,则{an}为递减数列。用作差法判断数列增减性的步骤为:①作差;②变形;③定号;④结论。 【变式训练】　已知数列{an}的通项公式是an=,试判断数列{an}的单调性。 解　解法一:因为an=,所以an+1==,于是an+1-an=-==,因为n∈N+,所以(2n+1)(2n+3)>0,因此>0,即an+1>an,故{an}是递增数列。 解法二:因为an=,所以an+1==,于是=×==1+,因为n∈N+,所以>0,因此1+>1,即>1,又an>0,所以an+1>an,即{an}是递增数列。 类型三 求数列的最大(小)项 　　【例3】　已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4。 (1)数列中有多少项是负数? (2)n为何值时,an有最小值?求出最小值。 解　(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4。因为n∈N+,所以n=2,3。所以数列中有两项是负数。 (2)解法一:因为{an}的相应函数为f(x)=x2-5x+4=-,可知对称轴方程为x==2.5。又因为n∈N+,故n=2或3时,an有最小值,且a2=a3,其最小值为22-5×2+4=-2。 解法二:设第n项最小,由得解这个不等式组,得2≤n≤3。又因为n∈N+,所以n=2,3。所以a2=a3且最小。所以a2=a3=22-5×2+4=-2。 　　求数列{an}的最大项和最小项,一种方法是利用函数的最值法;另一种是不等式法,求最小项可由来确定n,求最大项可由来确定n。若数列是单调的,也可由单调性来确定最大或最小项。 【变式训练】　已知数列{an}的通项公式an=(n+1)(n∈N+),试问数列{an}有没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数;若没有,说明理由。 解　假设数列{an}中存在最大项。因为an+1-an=(n+2)-(n+1)=,当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an,故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,所以数列中有最大项,最大项为第9,10项,且a9=a10=。 类型四 数列与函数的关系 　　【例4】　在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式an的相应函数是一次函数。 (1)求{an}的通项公式; (2)88是不是数列{an}中的项? 解　(1)设an=kn+b,则解得所以an=4n-2(n∈N+)。 (2)令an=88,即4n-2=88,解得n=22.5∉N+。